辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟考试数学（理）试卷

高中数学考试
考试时间： 分钟 满分： 40 分
题号 一 二 三
评分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共5题，共25分）

1、

在1中，2为1的重心，过2点的直线分别交3，4于5，6两点，且7，8，则9的最小值（   ）

A. 10   B. 11   C. 12   D. 13

2、

已知定义在1上的奇函数2可导，设其导函数为3，当4时，恒有5，令6，则满足7的实数8的取值范围是（   ）

A. 9   B. 10   C. 11   D. 12

3、

从1名男同学和2名女同学中选3人去参加一个会议，规定男女同学至少各有4人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：

①5；②6；③7.

则其中正确算式的个数是（   ）

A. 8   B. 4   C. 9   D. 10

4、

某地流行一种游戏，如图一是一长方形纸盒，高为1 ，宽为2 ，纸盒底部是一个“心形”图案，如图二所示，“心形”图案是由上边界3 （虚线4 上方部分）与下边界5 （虚线4 下方部分）围成，曲线3 是函数6 的图象，曲线5 是函数7 的图象，游戏者只需向纸盒内随机投掷一颗瓜子，若瓜子落在“心形”图案内部即可获奖，则一次游戏获奖的概率为（   ）

8

A. 9   B. 10   C. 11   D. 12

5、

按照程序框图（如图所示）执行，第1 个输出的数是（   ）

2

A. 3   B. 4   C. 5   D. 1

二、填空题（共1题，共5分）

6、

函数1在区间2（3）上有且仅有一个零点，则实数4的取值范围是__________．

三、解答题（共2题，共10分）

7、

已知椭圆1：2（3）的左右焦点分别为4，5且5关于直线6的对称点7在直线8上.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过焦点5垂直9轴的直线被椭圆截得的弦长为10，斜率为11的直线12交椭圆于13，14两点，问是否存在定点15，使得16，17的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的15点坐标；若不存在，说明理由.

8、

在如图所示的几何体1中，平面2平面3，四边形4和四边形3都是正方形，且边长为5，6是7的中点.

8

（1）求证：直线9平面10；

（2）求二面角11的大小.

辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟考试数学（理）试卷

高中数学考试
一、选择题（共5题，共25分）

1、

在1中，2为1的重心，过2点的直线分别交3，4于5，6两点，且7，8，则9的最小值（   ）

A. 10   B. 11   C. 12   D. 13

【考点】
【答案】

A

【解析】

设M为BC中点，则1，所以2  3

当且仅当4时取等号，所以选A.

2、

已知定义在1上的奇函数2可导，设其导函数为3，当4时，恒有5，令6，则满足7的实数8的取值范围是（   ）

A. 9   B. 10   C. 11   D. 12

【考点】
【答案】

D

【解析】

因为1，所以当2时，3 ，所以4在5单调递减，又6为奇函数，所以4为偶函数，因此由7得89 ，选D.

3、

从1名男同学和2名女同学中选3人去参加一个会议，规定男女同学至少各有4人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：

①5；②6；③7.

则其中正确算式的个数是（   ）

A. 8   B. 4   C. 9   D. 10

【考点】
【答案】

C

【解析】

①错，计算有重复；②对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；③对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，所以选C.

4、

某地流行一种游戏，如图一是一长方形纸盒，高为1 ，宽为2 ，纸盒底部是一个“心形”图案，如图二所示，“心形”图案是由上边界3 （虚线4 上方部分）与下边界5 （虚线4 下方部分）围成，曲线3 是函数6 的图象，曲线5 是函数7 的图象，游戏者只需向纸盒内随机投掷一颗瓜子，若瓜子落在“心形”图案内部即可获奖，则一次游戏获奖的概率为（   ）

8

A. 9   B. 10   C. 11   D. 12

【考点】
【答案】

C

【解析】

“心形”图案面积等于1

2

因此获奖的概率为34，选C.

5、

按照程序框图（如图所示）执行，第1 个输出的数是（   ）

2

A. 3   B. 4   C. 5   D. 1

【考点】
【答案】

B

【解析】

第一次输出1第二次输出2，第三次输出3 ，选B.

二、填空题（共1题，共5分）

6、

函数1在区间2（3）上有且仅有一个零点，则实数4的取值范围是__________．

【考点】
【答案】

1

【解析】

12,由3得4 ,因为5,所以6 或7,解得8或9 ,因为10实数11的取值范围是12

三、解答题（共2题，共10分）

7、

已知椭圆1：2（3）的左右焦点分别为4，5且5关于直线6的对称点7在直线8上.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过焦点5垂直9轴的直线被椭圆截得的弦长为10，斜率为11的直线12交椭圆于13，14两点，问是否存在定点15，使得16，17的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的15点坐标；若不存在，说明理由.

【考点】
【答案】

（1）1;（2）满足条件的定点2是存在的，坐标为3及4

【解析】

试题分析：（1）先求1关于直线2的对称点3坐标，再代入4得5，即得离心率，（2）先根据过焦点1垂直6轴的直线被椭圆截得的弦长为7，求椭圆方程，再用坐标表示8，9的斜率之和，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简，最后根据等式恒成立条件解出10点坐标.

试题解析：（1）依题知11，设12，则13且14，解得15，即16

∵3在直线4上，∴17，5，∴18

（2）由（1）及题设得：19且20，∴21，22，∴椭圆方程为23

设直线24方程为25，代入椭圆方程消去26整理得27.依题28，即29

设30，31，则32，33

如果存在34使得35为定值，那么35的取值将与36无关

37 38，令39

则40为关于41的恒等式

∴42，解得43或44

综上可知，满足条件的定点10是存在的，坐标为45及46

8、

在如图所示的几何体1中，平面2平面3，四边形4和四边形3都是正方形，且边长为5，6是7的中点.

8

（1）求证：直线9平面10；

（2）求二面角11的大小.

【考点】
【答案】

（1）见解析；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）连结1交2于3，根据平行四边形性质得3是1中点，再根据三角形中位线性质得4，最后根据线面平行判定定理得结论,（2）根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解各面法向量,根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角.

试题解析：（1）∵且5，6

7与8交于点9，10与11交于点12

∴平面13平面14，∴几何体15是三棱柱

又平面16平面17，18，∴19平面14，故几何体15是直三棱柱

（1）四边形20和四边形17都是正方形，所以21且22，所以四边形23为矩形；于是，连结1交2于3，连结24，3是1中点，又25是8的中点，故24是三角形D26的中位线，4，注意到26在平面27外，24在平面27内，∴直线28平面27

（2）由于平面20 29平面17，18，∴30平面17，所以31.于是32，11，10两两垂直.以33，11，10所在直线分别为34，35，36轴建立空间直角坐标系，因正方形边长为37，且25为8中点，所以38，39，40，41

于是42，43，设平面44的法向量为45

则46，解之得47，同理可得平面48的法向量49，∴50

记二面角51的大小为52，依题意知，52为锐角，53，54

即求二面角51的大小为55