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贵州省黔东南州高三第一次模拟考试数学（理）试卷
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
110 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共12题，共60分）
1、 在 A. 2、 已知 A. C. 3、 过抛物线 A. 40 B. 30 C. 25 D. 20 4、 给出函数 A. 5、 执行如图的程序框图，当输入的
A. 355 B. 354 C. 353 D. 352 6、 在 A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 7、 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ） A. 3步 B. 6步 C. 4步 D. 8步 8、 某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）
A. 9、 在等差数列 A. 9 B. 8 C. 6 D. 3 10、 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是（ ）
A. 旅游总人数逐年增加 B. 2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和 C. 年份数与旅游总人数成正相关 D. 从2014年起旅游总人数增长加快 11、 对于复数 A. 0 B. 2 C. -2 D. -1 12、 已知全集 A.
二、填空题（共3题，共15分）
13、 已知 14、 已知函数 15、 若实数
三、解答题（共7题，共35分）
16、 设 （Ⅰ）求不等式 （Ⅱ） 17、 在直角坐标系 （Ⅰ）当 （Ⅱ）直线 18、 函数 （Ⅰ）求实数 （Ⅱ）求 （Ⅲ） 19、 已知椭圆 （Ⅰ）求椭圆 （Ⅱ）设直线 20、 如图所示，在三棱锥
（Ⅰ）求证： （Ⅱ）求二面角 21、 为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人 参加比赛. （Ⅰ）设 （Ⅱ）设 22、 各项均为正数的等比数列 （Ⅰ）求数列 （Ⅱ）设数列 |
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贵州省黔东南州高三第一次模拟考试数学（理）试卷
1、
在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
.
、
是线段
上满足条件
，
的点，若
，则当角为钝角时，
的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
依题意知
分别是线段
上的两个三等分点，
则有
， 
，
则
，而
，
则
，得
，
由
为钝角知
，又
，
则有
，故选
．
2、
已知
、
，如果函数
的图象上存在点
，使
，则称是线段
的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段的“和谐函数”的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
由于线段
的垂直平分线方程为
，则函数
是线段的“和谐函数”则与直线有公共点，即函数
有零点．
利用导函数的性质，经检验知，
只有函数
的图像上存在点
满足上上述条件，故选D．
3、
过抛物线
：
的焦点
的直线交抛物线于
、
两点，以线段
为直径的圆的圆心为
，半径为
.点到的准线
的距离与之积为25，则
（ ）
A. 40 B. 30 C. 25 D. 20
A
由抛物线的性质知，点
到
的准线
的距离为
，
依题意得
，又点到的准线 的距离为
，
则有
，故
，故选A．
4、
给出函数
，点
，
是其一条对称轴上距离为
的两点，函数
的图象关于点
对称，则
的面积的最小值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
B
由
是其一条对称轴上距离
的零点，所以函数
的最小正周期为
，
则
点到直线
距离的最小值为
，从而得到
面积的最小值为
，故选B．
5、
执行如图的程序框图，当输入的
时，输出的
（ ）
A. 355 B. 354 C. 353 D. 352
B
由题意，①
，则
，
，
成立，
，
；
②
成立，
，
；
③
成立，
，
；
④
不成立，所以输出
，故选
．
6、
在
展开式中存在常数项，则正整数
可以是（ ）
A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020
C
由通项
，
依题意得
，解得
，故
是
的倍数，只有选项
符合要求，故选C．
7、
我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）
A. 3步 B. 6步 C. 4步 D. 8步
B
由于该直角三角形的两直角边长分别是
和
，则得其斜边长为
，
设其内切圆半径为
，则有
(等积法)，
解得
，故其直径为
(步)，故选B．
8、
某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
由正视图知，该正三棱锥的底边长为
，高为
，则侧视图是一个底边长为
，
高为的三角形，其面积为
，故选D．
9、
在等差数列
中，若
，则
（ ）
A. 9 B. 8 C. 6 D. 3
A
设
的公差为
，由
得
，所以
，
则
，故选A．
10、
经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是（ ）
A. 旅游总人数逐年增加
B. 2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和
C. 年份数与旅游总人数成正相关
D. 从2014年起旅游总人数增长加快
B
从图表中看出，旅游的总人数逐年增加时正确的；年份数与旅游总人数成正相关，是正确的；从2014年起旅游总人数增长加快是正确的；其中选项
明显错误，故选B．
11、
对于复数
，若
，则
（ ）
A. 0 B. 2 C. -2 D. -1
C
由
得
，解得
，故选C．
12、
已知全集
，集合
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
C
由
，故
，故选C．
13、
已知
、
分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段
长度的最小值是________．
依题意知，该正方体的内切球半径为
，外接球的半径为
，
且这两个球同心，则线段
长度的最小值是．
14、
已知函数
有唯一零点，如果它的零点在区间
内，则实数
的取值范围是_______．
因为
在
上单调递增，因为函数的零点在区间
内，
所以
，即
，
解得，所以实数
的取值范围是．
15、
若实数
，
满足
，则
的最大值是__________．
11
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
把目标函数
化为
，
由
，解得
，
当目标函数经过点时，取得最大值，此时最大值为
．
16、
设
.
（Ⅰ）求不等式
的解集；
（Ⅱ）
，
，求实数
的取值范围.
（1）解集为
；（2）实数
的取值范围是
.
试题分析：(Ⅰ)去掉绝对值，得到分段函数，由
，即可取得不等式的解集；
(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质，求得区间
上，
的值，进而求得实数的取值范围．
试题解析：
(Ⅰ)
，
由解得
，
故不等式的解集为
．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：
在区间
为减函数，在区间
上为增函数，
而
，
故在区间
上，
，
．
由
．
所以
且
，
于是
且
，
故实数的取值范围是
．
17、
在直角坐标系
中，点
的坐标为
，直线
的参数方程为
（
为参数）.以坐标原点
为极点，以
轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆
极坐标方程为
.
（Ⅰ）当
时，求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与圆的交点为
、
，证明：
是与
无关的定值.
（1）直线
的普通方程为
，圆
的直角坐标方程为
；（2）见解析.
试题分析：(Ⅰ)当
时，消去
得到直线的普通方程，由圆极坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到原的直角坐标方程．
(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的方程，
，得
，由的几何意义可求得
的值．
试题解析：
(Ⅰ)当时，的参数方程为
（为参数），
消去得
．由圆极坐标方程为
，得．
故直线的普通方程为圆的直角坐标方程为．
(Ⅱ)将
代入得，
．
设其两根分别为，则
．
由的几何意义知 
．故为定值
(与
无关) .
18、
函数
在点
处的切线方程为
.
（Ⅰ）求实数
，
的值；
（Ⅱ）求
的单调区间；
（Ⅲ）
，
成立，求实数
的取值范围.
（1）
；（2）函数
的减区间是
，增区间是
；（3）
的取值范围是
．.
试题分析：(Ⅰ)求得
， 分别令
，
，即可求得
的值；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得和
，由于在区间
上为增函数，且，进而得到函数的单调区间；
(Ⅲ)构造函数
，由
成立，等价于
，再由(Ⅱ)知当
时，
，即
（当且仅当
时取等号），即可求解实数的取值范围．
试题解析：
(Ⅰ)
，
依题意得，
，则有
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，
，
由于
在区间上为增函数，且，
则当
时，
；当
时，
，
故函数的减区间是
，增区间是．
(Ⅲ) 因为
，
于是构造函数
，
，
成立，等价于，
由(Ⅱ)知当时，，即
对恒成立．
即（当且仅当时取等号）
所以函数
，又时，
，
所以
．故的取值范围是．
19、
已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
、
，上顶点为
.动直线
：
经过点，且
是等腰直角三角形.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线交于
、
两点，若点在以线段
为直径的圆外，求实数
的取值范围.
（1）椭圆
的标准方程为
；（2）实数
的取值范围是
.
试题分析：(Ⅰ) 由题意德
，在等腰直角
和
关系式，求得
的值，即可得到椭圆的方程；
(Ⅱ) 设
，
，联立方程组，求得
，又点
在以线段
为直径的圆外等价于
，列出关于
的不等式，求得实数的范围．
试题解析：
(Ⅰ) 因为直线
经过点
，所以，
又是等腰直角三角形，所以
所以
故椭圆
的标准方程为
．
(Ⅱ) 设，，将与联立消
得
．
，
点在以线段为直径的圆外等价于，
，解得
故实数的取值范围是
．
20、
如图所示，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
、
分别为线段
、
上的点，且
，
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
（1）见解析；（2）
.
试题分析：(Ⅰ)由
平面
，证得
，再由
为等腰直角三角形，得到
，即可利用线面垂直的判定定理，证得
平面
．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，以
为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求得平面
的法向量为
，又平面
的法向量可取
，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值．
试题解析：
(Ⅰ)证明：由平面，
平面，故
由
，得为等腰直角三角形，故
又
，故平面．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，
过
作
垂直
于
，易知
又已知
，故
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
则有
，
．
设平面的法向量为
，则有
，可取
；
因为
平面，所以平面的法向量可取
．
则
．
而二面角
为锐二面角，故其余弦值为．
21、
为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人 参加比赛.
（Ⅰ）设
为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率.
（Ⅱ）设
为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
(1)
;(2)见解析.
种不同选法，当两名高级导游来自乙旅游协会时，有
种不同选法，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解事件
发生的概率；(Ⅱ)由题意，得随机变量
的所有可能取值为
，求得随便取每个值的概率，列出分布列，利用公式求解随机变量的期望．
试题解析：
(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有
种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有
种不同选法，则
，所以事件发生的概率为 .
(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4．
，
，
，
．
所以,随机变量的分布列为
| 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
|
则随机变量的数学期望
（人）．
22、
各项均为正数的等比数列
的前
项和为
.已知
，
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
，求数列的前项和
.
(1) 
;(2) 
.
试题分析：(Ⅰ)设
的公比为
，由
，
，解得
，即可求解数列的通项公式；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，可得
，利用等比数列的求和公式，即可求解数列的前
项和．
试题解析：
(Ⅰ)设的公比为，由，得
，
于是
，解得（
不符合题意，舍去）
故
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，则
，
则
…
．