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贵州省凯里市第一中学高三下学期开学考试数学（理）试卷
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
105 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共11题，共55分）
1、 在
A. 1 B. 2、 过双曲线 A. 2 B. 3、 函数 A. C. 4、 如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数
A. 5、 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 A. 6、 已知某几何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A. 7、 已知函数 A. 8、 已知 A. -2 B. -3 C. 9、 据新闻报道，因永冻土层融化，进水，位于挪威北部的“末日种子库”进水.为了解其中的种子是否受到影响，专家先随机从中抽取10种不同的种子（包括 A. 10、 已知 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11、 已知集合 A.
二、填空题（共4题，共20分）
12、 已知椭圆 13、 已知函数 14、 多项式 15、 已知向量
三、解答题（共6题，共30分）
16、 选修4-5：不等式选讲 已知函数 （1）当 （2）若 17、 已知 （1）若方程 （2）若 18、 过圆 （1）求直线 （2）直线 19、 如图，四棱锥
（1）求证：平面 （2）当四棱锥 20、 第三届移动互联创新大赛，于2017年3月～10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一种子选手 （1）求甲恰好获胜两场的概率； （2）求甲获胜场数的分布列与数学期望. 21、 已知 （1）求 （2）若 |
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贵州省凯里市第一中学高三下学期开学考试数学（理）试卷
1、
在
中，
，点
在线段
上，
，
，若
，则
到
的距离为（ ）
A. 1 B. 
C. 
D. 
C
，
，
故选
2、
过双曲线
的左焦点
作一条渐近线的垂线，垂足为
，与另外一条渐近线交于点
，若
，则
（ ）
A. 2 B. 
C. 
D. 
C
双曲线
的左焦点
渐近线方程是
过左焦点
与渐近线
垂直的直线方程是
由
，得
点
的坐标是
则
，
设直角
的倾斜角是
，则
整理得
解得
或
（舍去）
故选
3、
函数
的大致图像为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
当
或
时，
排除
当
时
递减
则
在
内递增
故选
4、
如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数
的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
，
，否，
，否，
，否，
，
，是，即
解不等式
且满足
，
综上所述，若输出的结果为
，则输入的实数
的取值范围是
故选
5、
公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为
米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
B
根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为
当阿基里斯和乌龟的速度恰好为
米时，乌龟爬行的总距离为
故选
6、
已知某几何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
由已知三视图得：该几何体的直观图如下
可知该几何体外接球的半径为
则该几何体外接球的表面积为
故选
7、
已知函数
，则满足
的实数
的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
B
由题意求得函数的定义域为
则函数在
上为减函数
又
则
故
，解得
故选
8、
已知
的终边上有一点
，则
（ ）
A. -2 B. -3 C. 
D. 
D
解得
故选
9、
据新闻报道，因永冻土层融化，进水，位于挪威北部的“末日种子库”进水.为了解其中的种子是否受到影响，专家先随机从中抽取10种不同的种子（包括
）进行检测，若专家计划从这10种种子中随机选取3种进行试种，则其中至少包含
中之一的概率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
B
总事件为
种
都不包含的事件数为
种
都不包含的概率为
因为“
都不包含”与事件“至少包含
中之一”为对立事件
故所求的概率为
故选
10、
已知
是虚数单位，且
，则
的共轭复数
在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
A
则
，所以对应点在第一象限
故选
11、
已知集合
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
B
故选
12、
已知椭圆
的左，右焦点分别为
，直线
与椭圆
交于
两点，给出下列结论：①若
，则
；②
与
不可能平行；③若
，则
；④
与
不可能垂直.其中正确结论的序号为__________（请把正确结论的序号全部填写在横线上）．
②④
由
可得：
设
，
则
，
，
而
，
，若
，则
即
，而
，
，即
故
，整理可得
，显然不成立
故
与
不可能平行
假设
，则
，即点
在圆
：
上，
而点
在椭圆上，显然不可能在圆
上，故
与
不可能垂直
故其中正确结论的序号为②④
13、
已知函数
，则不等式
的解集为__________．
则
解得
或
故不等式
的解集为
14、
多项式
展开式中所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项为__________．
141
由
展开式中所有项的系数之和为
可得：
，则
展开式中的常数项可分为
种情况
个括号都取
⑵
个括号取
，
个括号取
，
个括号都取
，
⑶
个括号取
，
个括号取
，
个括号取
，
⑷
个括号取
，
个括号取
，
展开式中的常数项为
15、
已知向量
的夹角为
，且
，
，
，则
__________．
-3
由已知可设
故可得
解得
或
则
或
则当
时，
则当
时，
，
的夹角为
，故可得
则
16、
选修4-5：不等式选讲
已知函数
.
（1）当
时，若
，求
的取值范围；
（2）若
对任意正实数
恒成立，求实数
的取值范围.
（1）
;（2）
.
试题分析：⑴将
时代入，然后根据几何意义和不等式进行计算(2) 当
时，
利用基本不等式，计算可得结果
解析：（1）当
时，
，
当且仅当
时，等号成立，
故
，即
的取值范围
（2）当
时，
，
当且仅当
，即
时，
取得最小值8，
而
，则只需
，
解之得
，即实数
的取值范围是
.
17、
已知
.
（1）若方程
在
上有实数根，求实数
的取值范围；
（2）若
在
上的最小值为
，求实数
的值.
（1）
;（2）
.
试题分析：⑴化简方程
，令
求导，算出单调性，转化为函数
与
在
有交点，利用斜率求得参量取值范围(2)求导
，分别讨论
、
、
三种情况的最小值，求解符合题目的参数的值
解析：（1）方程
可化为
，
令
，
则
，
由
可得
，由
可得
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
的极小值为
，而
，
，
要使方程
在
上有实数根，
只需使得函数
与
在
有交点，
∵点
与
连线的斜率为
，
点
与
连线的斜率为
，且
，
∴结合图像可得
时，函数
与
有交点.
∴方程
在
上有实数根时，
实数
的取值范围是
（2）由
可得
，
①若
，则
在
上恒成立，即
在
单调递减，
则
的最小值为
，故
，
满足
；
②若
，则
在
上恒成立，即
在
单调递增，
则
的最小值为
，故
，不满足
，舍去；
③若
，则
时，
；
时，
.
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
的最小值为
，即
.
令
，则
，
∴
在
上单调递增，∴
，
，而
，故
不可能成立.
综上可知，实数
的值为
.
18、
过圆
上的点
作圆
的切线，过点
作切线的垂线
，若直线
过抛物线
的焦点
.
（1）求直线
与抛物线
的方程；
（2）直线
与抛物线
交于
，直线
与抛物线交于
且
与
交于点
，求
的值.
（1）
,
；（2）2.
试题分析：⑴先求出过点点
且与圆
相切的直线方程，然后计算出点
作切线的垂线
，最后计算出抛物线方程(2)设各点坐标，联立直线与抛物线方程，利用根与系数之间的关系，将斜率转化为坐标的形式，代入计算可得结果
解析：（1）过点
且与圆
相切的直线方程为
，
斜率为
，故直线
的斜率为
，故直线
的方程为：
，
即
.
令
，可得
，故
的坐标为
，
∴
，抛物线
的方程为
；
（2）设
，
，
，
，
由
可得
，则
，
，
同理，由
过点
可得
，
∴
，
，
，
∴
.
19、
如图，四棱锥
的底面
是直角梯形，
，
，
，点
在线段
上，且
，
，
平面
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）当四棱锥
的体积最大时，求平面
与平面
所成二面角的余弦值.
（1）见解析;（2）
.
试题分析：⑴由条件推出四边形
是矩形，得到
，再推出
，
平面
，即可推出平面
平面
⑵要使四棱锥
的体积取最大值，只需
取得最大值，当且仅当
时，
取得最大值36，分别以
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，利用向量法求出平面
与平面
所成角的余弦值
解析：（1）由
可得
，
易得四边形
是矩形，∴
，
又
平面
，
平面
，∴
，
又
，
平面
，∴
平面
，
又
平面
，∴平面
平面
（2）四棱锥
的体积为
，
要使四棱锥
的体积取最大值，只需
取得最大值.
由条件可得
，
∴
，即
，
当且仅当
时，
取得最大值36.
分别以
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，由
，
可得
，令
可得
，
同理可得平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面
所成二面角为
，
.
由于平面
与平面
所成角为锐二面角，所以余弦值为
.
20、
第三届移动互联创新大赛，于2017年3月～10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一种子选手
，再从全校征集出3位志愿者分别与
进行一场技术对抗赛，根据以往经验，
与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为
，且各场输赢互不影响.
（1）求甲恰好获胜两场的概率；
（2）求甲获胜场数的分布列与数学期望.
（1）
；（2）见解析.
试题分析：⑴利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；
⑵设甲获胜场次为
，则
的可能取值为：
，求出概率，列出分布列，然后求解数学期望
解析：（1）设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为
，
则
，
，
，
则甲恰好获胜两场的概率为：
；
（2）设甲获胜场次为
，则
的可能取值为：0，1，2，3，
则
，
；
；
.
∴
的分布列为：
∴
的数学期望为：
.
21、
已知
的前
项和为
，且
成等差数列.
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
（1）
.（2）
.
试题分析：⑴根据条件求出
，当
时，
，再利用等差数列的通项公式即可求得答案；⑵利用裂项求和法即可得出答案
解析：（1）由条件可得
，
当
时，
，
由
成等差数列可得
，
即
，
解之得
，故
.
（2）
，
故
，
即
.