福建省龙海市程溪中学高一年下学期期中考数学试卷

高中数学考试
考试时间： 分钟 满分： 80 分
题号 一 二 三
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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共7题，共35分）

1、

设变量x，y满足约束条件1则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(   )

A. 6   B. 7   C. 8   D. 23

2、

若log4(3a＋4b)＝log21，则a＋b的最小值是( )

A. 6＋22   B. 7＋22

C. 6＋42   D. 7＋42

3、

若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是( )

A. (-∞,2]   B. (1,+∞)   C. (-∞,2)   D. [1,+∞)

4、

不等式1的解集是2，则3的值等于 （ ）

A. －14   B. 14   C. －10   D. 10

5、

已知数列{an}是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则数列{an}的公差等于( )

A. 1   B. 3   C. 5   D. 6

6、

若实数1满足2，则3的最大值为 ( )

A. 1   B. 4   C. 6   D. 5

7、

函数1的定义域是( )

A. {x|x<－4或x>3}   B. {x|－4<x<3}

C. {x|x≤－4或x≥3}   D. {x|－4≤x≤3}

二、填空题（共4题，共20分）

8、

当x>1时，不等式1恒成立，则实数2的取值范围是_____

9、

已知正项等比数列{an}满足log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 009＝2 009，则log2(a1＋a2 009)的最小值为_________．

10、

设1，若2是3与4的等比中项，则5的最小值为__________．

11、

在等差数列{an}中，S4＝4，S8＝12，则S12＝________.

三、解答题（共5题，共25分）

12、

数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.

(1)证明：数列1是等差数列；

(2)设bn＝3n·2，求数列{bn}的前n项和Sn.

13、

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C－1c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，求△ABC周长的取值范围．

14、

已知关于x的不等式ax2＋(1－a)x－1>0

（1）当a=2时，求不等式的解集。

（2）当a>－1时。求不等式的解集

15、

已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.

(1)求an及Sn；

(2)令1，求数列{bn}的前n项和Tn.

16、

某食品厂定期收购面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.

（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.

福建省龙海市程溪中学高一年下学期期中考数学试卷

高中数学考试
一、选择题（共7题，共35分）

1、

设变量x，y满足约束条件1则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(   )

A. 6   B. 7   C. 8   D. 23

【考点】
【答案】

B

【解析】

试题分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=1时，z=2x+3y取得最小值为7．

解：作出不等式组1表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，1），B（1，2），C（4，5）

设z=F（x，y）=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，

当l经过点A时，目标函数z达到最小值

∴z最小值=F（2，1）=7

故选：B

2

2、

若log4(3a＋4b)＝log21，则a＋b的最小值是( )

A. 6＋22   B. 7＋22

C. 6＋42   D. 7＋42

【考点】
【答案】

D

【解析】

试题分析：利用对数的运算法则可得1＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出

解：∵3a+4b＞0，ab＞0，

∴a＞0．b＞0

∵log4（3a+4b）=log22，

∴log4（3a+4b）=log4（ab）

∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0

∴1＞0，

∴a＞4，

则a+b=a+3=a+4=（a﹣4）+5+76+7=47+7，当且仅当a=4+27取等号．

故选：D．

3、

若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是( )

A. (-∞,2]   B. (1,+∞)   C. (-∞,2)   D. [1,+∞)

【考点】
【答案】

A

【解析】

不等式1 可化为2，

因为3，所以4恒成立，

又因为5在6为单调递增函数，所以7

所以实数8的取值范围是9，故选A.

4、

不等式1的解集是2，则3的值等于 （ ）

A. －14   B. 14   C. －10   D. 10

【考点】
【答案】

C

【解析】

由题意可知1是方程2的两个根，所以3,

所以4,故选C.

5、

已知数列{an}是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则数列{an}的公差等于( )

A. 1   B. 3   C. 5   D. 6

【考点】
【答案】

B

【解析】

设等差数列的公差为1，由2，

所以3 ，解得4，故选B.

6、

若实数1满足2，则3的最大值为 ( )

A. 1   B. 4   C. 6   D. 5

【考点】
【答案】

D

【解析】

作出约束条件所表示的可行域，如图所示，

解方程组1，解得2，

由题意可知3点到原点的距离的平方最大，所以4,

所以5的最大值为6，故选D.

7

7、

函数1的定义域是( )

A. {x|x<－4或x>3}   B. {x|－4<x<3}

C. {x|x≤－4或x≥3}   D. {x|－4≤x≤3}

【考点】
【答案】

C

【解析】

由题意得，函数满足1，即2，

解得3或4，所以函数的定义域为5或6，故选C.

二、填空题（共4题，共20分）

8、

当x>1时，不等式1恒成立，则实数2的取值范围是_____

【考点】
【答案】

1

【解析】

试题分析：由题意有1，所以2.

9、

已知正项等比数列{an}满足log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 009＝2 009，则log2(a1＋a2 009)的最小值为_________．

【考点】
【答案】

2

【解析】

本题可先由对数的运算性质得到1，

又由等比数列的性质得2，

故由上式可得3，

由基本不等式得4，即5最小值为6．

10、

设1，若2是3与4的等比中项，则5的最小值为__________．

【考点】
【答案】

2

【解析】

由已知1, 2是3与4的等比中项，则5

则

6 ，当且仅当7时等号成立

故答案为2

11、

在等差数列{an}中，S4＝4，S8＝12，则S12＝________.

【考点】
【答案】

24

【解析】

由等差数列的性质可知：1 成等差数列，

 所以2，解得3.

三、解答题（共5题，共25分）

12、

数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.

(1)证明：数列1是等差数列；

(2)设bn＝3n·2，求数列{bn}的前n项和Sn.

【考点】
【答案】

(1)见解析；(2)1.

【解析】

试题分析：（1）将1的两边同除以2 ，得到3，由等差数列的定义，即可作出证明；

（2）有（1）求出4，利用错位相减法即可求解数列5的前6项和7.

试题解析：

(1)证明：由已知可得8＝9＋1，即8－9＝1.

所以10是以11＝1为首项，1为公差的等差数列．

(2)由(1)得9＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.

从而bn＝n·3n.

Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①

3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②

①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1

＝12－n·3n＋1

＝13.

所以Sn＝14.

13、

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C－1c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，求△ABC周长的取值范围．

【考点】
【答案】

(1)1；(2)2.

【解析】

试题分析：

（1）根据正弦定理化简题中等式，得1，由三角形的内角和定理和诱导公式，可得2，代入前面的等式，解得3的值，即可求解角4的大小；

（2）根据5，利用正弦定理，求得6且7，结合8代入9的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到10的周长关于角11的三角函数，在根据正弦函数的图象与性质，即可求解周长的取值范围.

试题解析：

(1)由acos C－12c＝b得sin Acos C－12sin C＝sin   B.

又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以12sin C＝－cos Asin C.

因为sin C≠0，所以cos A＝－12.又因为0<A<π，所以A＝13.

(2)由正弦定理得b＝14＝15sin B，c＝15sin C.

l＝a＋b＋c＝1＋15 (sin B＋sin C)

＝1＋15 [sin B＋sin(A＋B)]

＝1＋1516

＝1＋15sin17.

因为A＝13，所以B∈18，

所以B＋19∈20.

所以sin17∈21.

所以△ABC的周长的取值范围为22.

14、

已知关于x的不等式ax2＋(1－a)x－1>0

（1）当a=2时，求不等式的解集。

（2）当a>－1时。求不等式的解集

【考点】
【答案】

（1）1；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）当1时，不等式即为2，由此可求得不等式的解集；

（2）不等式即为3，其对应的方程的根为4和5，利用二次函数的性质分类讨论，即可求解不等式的解集.

试题解析：

（1）原不等式的解集为6

（2）二次项系数含有参数，因此对a在0点处分开讨论．若a≠0，则原不等式ax2＋(1－a)x－1>0等价于(x－1)(ax＋1)>0.其对应方程的根为－7与1.

又因为a>－1，则：

①当a＝0时，原不等式为x－1>0，

所以原不等式的解集为{x|x>1}；

②当a>0时，－7 <1，

所以原不等式的解集为6；

③当－1<a<0时，－7 >1，

所以原不等式的解集为8.

15、

已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.

(1)求an及Sn；

(2)令1，求数列{bn}的前n项和Tn.

【考点】
【答案】

(1)an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n；(2)Tn＝1.

【解析】

试题分析：(1)设等差数列1的首项2，公差为3，根据题设列出关于4的方程组，求得5的值，即可求解数列的通项公式和前6项和；

(2)由(1)中的7代入给出的表达式，得到8，利用裂项求和，即可得到数列的前9项和.

试题解析：

(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

∵a3＝7，a5＋a7＝26，∴10

解得11

∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋12×2＝n2＋2n.即an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.

(2)由(1)知an＝2n＋1，

∴bn＝13＝14＝15×16＝15×17.

∴Tn＝15×18＝15×19＝20，

即数列{bn}的前n项和Tn＝20.

16、

某食品厂定期收购面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.

（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.

【考点】
【答案】

（1）该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少；

（2）该厂应接受此优惠条件，理由详见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．

由题意表示出面粉的保管等其他费用为3[6x＋6（x－1）＋…＋6×2＋6×1]＝9x（x＋1）．

由基本不等式求出总费用最少时x的值即可．

（2）若厂家利用此优惠条件后,则至少每隔35天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2＝1[9x（x＋1）＋900]＋6×1 800×0.9＝2＋9x＋9 729（x≥35）；由函数单调性知：当x≥35时为增函数．

∴该厂应接受此优惠条件．

试题解析：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．

由题意知，面粉的保管等其他费用为

3[6x＋6（x－1）＋…＋6×2＋6×1]＝9x（x＋1）．

设平均每天所支付的总费用为y1元，则

y1＝1[9x（x＋1）＋900]＋6×1 800＝2＋9x＋10 809≥23＋10 809＝10 989，

当且仅当9x＝2，x＝10时取等号，

即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

（2）若厂家利用此优惠条件后,则至少每隔35天购买一次面粉．

设该厂利用此优惠条件，每隔x（x≥35）天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2＝1[9x（x＋1）＋900]＋6×1 800×0.9＝2＋9x＋9 729（x≥35）．

令f（x）＝x＋4（x≥35），x2＞x1≥35，

则f（x1）－f（x2）＝（x1＋5）－（x2＋6）＝7.

∵x2＞x1≥35，

∴x2－x1＞0，x1x2＞0,100－x1x2＜0.

∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．

即f（x）＝x＋4，当x≥35时为增函数．

∴当x＝35时，f（x）有最小值，此时y2＜10 989，

∴该厂应接受此优惠条件．