湖北省黄冈市蕲春县高二（下）期中数学试卷（理科）

高中数学考试
考试时间： 分钟 满分： 70 分
题号 一 二 三
评分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共8题，共40分）

1、

某射击运动员进行打靶训练，若气枪中有5发子弹，运动员每次击中目标概率均为 1 ，击中即停止打靶，则运动员所需子弹数的期望为（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

2、

设随机变量X～N（1，σ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（﹣1＜X≤3）=0.9544，那么向正方形OABC中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ） （附：随机变量X～N（1，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544）

1

A.15078

B.14056

C.13174

D.12076

3、

定义“规范03数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为3，且对任意k≤2m，a1 ， a2 ， …，ak中0的个数不少于3的个数，若m=4，则不同的“规范03数列”共有（ ）

A.18个

B.16个

C.14个

D.12个

4、

在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 1 ，则实数m=（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

5、

某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1 ， x2 ， …，x10 ， 其均值和方差分别为 1 和s2 ， 若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）

A.1 ，s2+1002

B.1 +100，s2+1002

C.1 ，s2

D.1 +100，s2

6、

位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向是向上或向下，并且向上移动的概率为 1 ，则质点P移动4次后位于点（0，2）的概率是（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

7、

如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（ ） 1

A.①②

B.①③

C.②③

D.③④

8、

2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石．许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）

A.茎叶图

B.分层抽样

C.独立性检验

D.回归直线方程

二、填空题（共2题，共10分）

9、

一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为______ ．

10、

已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D（X）等于______ ．

X

0

1

p

m

2m

三、解答题（共4题，共20分）

11、

设 1 的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240．

（1）求n；

（2）求展开式中所有x的有理项．

12、

PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示：

PM2.5日均值
（微克/立方米）

[25，35]

（35，45]

（45，55]

（55，65]

（65，75]

（75，85]

频数

3

1

1

1

1

3


（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．（精确到整数）

13、

如图是我国2009年至2015年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．

参考数据： 1 yi=9.32， 1 tiyi=40.17， 2 =0.55， 3 ≈2.646．

参考公式：相关系数r= 4 = 5

回归方程 6 = 7 + 8 t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 8 = 9 ， 7 = 10 ﹣ 8 t．

11

14、

在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校高二年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频率统计表如表： 表一：男生测评结果统计

等级

优秀

合格

尚待改进

频数

15

x

5

表二：女生测评结果统计

等级

优秀

合格

尚待改进

频数

15

3

y

参考数据：

P（K2≥k0）

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

（参考公式： 1 ，其中n=a+b+c+d）．
（1）计算x，y的值；
（2）由表一表二中统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

男生

女生

总计

优秀

非优秀

总计

湖北省黄冈市蕲春县高二（下）期中数学试卷（理科）

高中数学考试
一、选择题（共8题，共40分）

1、

某射击运动员进行打靶训练，若气枪中有5发子弹，运动员每次击中目标概率均为 1 ，击中即停止打靶，则运动员所需子弹数的期望为（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】
【答案】

D

【解析】
解：运动员所需子弹数X的可能取值为1，2，3，4，5； 则P（X=1）= 1 ，
P（X=2）= 2 × 1 = 3 ，
P（X=3）= 2 × 2 × 1 = 4 ，
P（X=4）= 2 × 2 × 2 × 1 = 5 ，
P（X=5）= 2 × 2 × 2 × 2 × 1 = 6 ；
∴X的分布列为：

X

1

2

3

4

5

P

1

3

4

5

6

EX= 7 +4× 8 = 9 ．
故选：D．

2、

设随机变量X～N（1，σ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（﹣1＜X≤3）=0.9544，那么向正方形OABC中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ） （附：随机变量X～N（1，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544）

1

A.15078

B.14056

C.13174

D.12076

【考点】
【答案】

C

【解析】

解：由题意P阴影=P（0＜X≤1）=1﹣ 1 ×0.6826=1﹣0.3413=0.6587， 则落入阴影部分点的个数的估计值为20000×0.6587=13174，

故选：C．

3、

定义“规范03数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为3，且对任意k≤2m，a1 ， a2 ， …，ak中0的个数不少于3的个数，若m=4，则不同的“规范03数列”共有（ ）

A.18个

B.16个

C.14个

D.12个

【考点】
【答案】

C

【解析】

解：由题意可知，“规范03数列”有偶数项2m项，且所含0与3的个数相等，首项为0，末项为3，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有： 0，0，0，0，3，3，3，3； 0，0，0，3，0，3，3，3； 0，0，0，3，3，0，3，3； 0，0，0，3，3，3，0，3； 0，0，3，0，0，3，3，3；

0，0，3，0，3，0，3，3； 0，0，3，0，3，3，0，3； 0，0，3，3，0，3，0，3； 0，0，3，3，0，0，3，3； 0，3，0，0，0，3，3，3；

0，3，0，0，3，0，3，3； 0，3，0，0，3，3，0，3； 0，3，0，3，0，0，3，3； 0，3，0，3，0，3，0，3．共14个．

故选：C．

【考点精析】关于本题考查的数列的定义和表示，需要了解数列中的每个数都叫这个数列的项．记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an才能得出正确答案．

4、

在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 1 ，则实数m=（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】
【答案】

C

【解析】

解：m=3时，解不等式|x|≤3，可得﹣3≤x≤3，以长度为测度，则在区间[﹣2，4]上区间长度为5， 在区间[﹣2，4]上，∴区间长度为4﹣（﹣2）=6，

满足在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 1 ，

故选：C．

【考点精析】认真审题，首先需要了解几何概型(几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等)．

5、

某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1 ， x2 ， …，x10 ， 其均值和方差分别为 1 和s2 ， 若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）

A.1 ，s2+1002

B.1 +100，s2+1002

C.1 ，s2

D.1 +100，s2

【考点】
【答案】

D

【解析】

解：由题意知yi=xi+100， 则 1 = 2 （x1+x2+…+x10+100×10）= 2 （x1+x2+…+x10）= 3 +100，

方差s2= 2[（x1+100﹣（ 3 +100）2+（x2+100﹣（v+100）2+…+（x10+100﹣（ 3 +100）2]= 2[（x1﹣ 3 ）2+（x2﹣ 3 ）2+…+（x10﹣ 3 ）2]=s2 ．

故选：D．

【考点精析】解答此题的关键在于理解平均数、中位数、众数的相关知识，掌握⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据，以及对极差、方差与标准差的理解，了解标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差．

6、

位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向是向上或向下，并且向上移动的概率为 1 ，则质点P移动4次后位于点（0，2）的概率是（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】
【答案】

D

【解析】

解：根据题意，质点P移动4次后位于点（0，2），其中向上移动3次，向右下移动1次； 则其概率为C41×（ 1 ）1×（ 2 ）3= 3 ，

故选：D．

【考点精析】本题主要考查了几何概型的相关知识点，需要掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等才能正确解答此题．

7、

如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（ ） 1

A.①②

B.①③

C.②③

D.③④

【考点】
【答案】

B

【解析】

解：根据题意，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的散点图， 必须是散点分步比较集中，且大体接近某一条直线的，

分析选项4个散点图可得①③符合条件，

故选：B

8、

2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石．许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）

A.茎叶图

B.分层抽样

C.独立性检验

D.回归直线方程

【考点】
【答案】

C

【解析】

解：在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见， 可得：K2= 1 =83.88＞10.828，

故有理由“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，

故利用独立性检验的方法最有说服力，

故选：C．

二、填空题（共2题，共10分）

9、

一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为______ ．

【考点】
【答案】

1

【解析】

解：一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个，如果不放回地依次摸出2个小球， 设A表示“第一次摸出红球”，B表示“第二次摸出红球”，

则P（A）= 1 = 2 ，P（AB）= 3 = 4 ，

∴在第一次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率：

P（B|A）= 5 = 6 = 7 ．

所以答案是： 7 ．

10、

已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D（X）等于______ ．

X

0

1

p

m

2m

【考点】
【答案】

1

【解析】

解：由离散型随机变量X服从的分布列，知： m+2m=1，解得m= 1 ，

∴E（X）= 2 = 3 ，

∴D（X）= 4 +（1﹣ 3 ）2× 3 = 5 ．

所以答案是： 5 ．

【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．

三、解答题（共4题，共20分）

11、

设 1 的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240．

（1）求n；

（2）求展开式中所有x的有理项．

【考点】
【答案】

（1）解：令x=1，M=4n

二项系数之和为2n

所以4n﹣2n=240 得n=4

（2）解：Tr+1=34﹣rC4rx 1 ，0≤r≤4，所以r=0，2，4，

当r=0时，T1=34C40x4=81x4，

当r=2时，T2=32C42x3=54x3，

当r=4时，T1=30C44x2=x2

【解析】

（1）利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n，（2）利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，2，4得答案．

12、

PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示：

PM2.5日均值
（微克/立方米）

[25，35]

（35，45]

（45，55]

（55，65]

（65，75]

（75，85]

频数

3

1

1

1

1

3


（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．（精确到整数）

【考点】
【答案】

（1）解：由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级．

∴随机抽取3天，恰有1天空气质量达到一级的概率P= 1 = 2


（2）解：由题意可得ξ=0，1，2，3．

则P（ξ=3）= 3 = 4 ，P（ξ=2）= 5 = 6 ，P（ξ=1）= 1 = 2 ，P（ξ=0）= 7 = 8 ．

所以其分布列为：

ξ

0

1

2

3

P（ξ）

8

2

6

4


（3）解：一年（按366天算）中空气质量达到一级或二级的概率为P=0.7，

一年（按366天算）中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η～B（366，0.7），

∴Eη=366×0.7=256.2≈256，

∴一年（按366天算）中平均有256天的空气质量达到一级或二级


【解析】

（1）由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级，设“达到一级”为事件A，若随机抽取3天，恰有1天空气质量达到一级的概率，利用二项分布即可得．（2）利用“超几何分布”即可得出；（3）由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级，只有4天达到二级，因此这10天空气质量达到一级或二级的概率，利用数学期望计算公式即可得出．

13、

如图是我国2009年至2015年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．

参考数据： 1 yi=9.32， 1 tiyi=40.17， 2 =0.55， 3 ≈2.646．

参考公式：相关系数r= 4 = 5

回归方程 6 = 7 + 8 t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 8 = 9 ， 7 = 10 ﹣ 8 t．

11

【考点】
【答案】

解：（Ⅰ）变量y与t的相关系数r= 1 ≈0.99， 故可用线性回归模型拟合变量y与t的关系．

（Ⅱ） 2 =4， 3 = 45 yi ， 所以 6 = 7 =0.1，

8 = 3 ﹣ 6 t= 9 ，

所以线性回归方程为 10 =0.1t+0.93，

当t=9时， 10 =0.1×9+0.93=1.83，

因此，我们可以预测2017年我国生活垃圾无害化处理1.83亿吨

【解析】

（Ⅰ）求出变量y与t的相关系数，可得结论；（Ⅱ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测2017年我国生活垃圾无害化处理1.83亿吨．

14、

在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校高二年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频率统计表如表： 表一：男生测评结果统计

等级

优秀

合格

尚待改进

频数

15

x

5

表二：女生测评结果统计

等级

优秀

合格

尚待改进

频数

15

3

y

参考数据：

P（K2≥k0）

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

（参考公式： 1 ，其中n=a+b+c+d）．
（1）计算x，y的值；
（2）由表一表二中统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

男生

女生

总计

优秀

非优秀

总计

【考点】
【答案】

（1）解：设从高一年级男生中抽出m人，

则 1 ，解得m=25，

∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2


（2）解：2×2列联表如下

男生

女生

总计

优秀

15

15

30

非优秀

10

5

15

总计

25

20

45

∵ 2 ，

∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”


【解析】

（1）根据分层抽样的定义和男生所占的比例列出方程，求出m的值，再由条件求出x、y的值；（2）由（1）列出列联表，根据数据和公式求出K2的观测值，由表格和独立性检验即可得到答案．