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江苏省盐城中学高一数学竞赛模拟试卷（一）
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
70 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、填空题（共10题，共50分）
1、 已知 2、 已知数列 3、 函数 4、 集合 5、
6、 从椭圆外一点 7、 已知圆 8、 已知， 9、 设函数 10、 已知函数
二、解答题（共4题，共20分）
11、 求 12、 设点 （1）证明：点 （2）求 13、 设 14、 如图，圆
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江苏省盐城中学高一数学竞赛模拟试卷（一）
1、
已知
，
是实系数一元二次方程
的两个虚根，且
，则
____________．
由题意可设
，由
得
所以
2、
已知数列
满足
,
，则
的最小值为____________．
3、
函数
的定义域和值域为
，
的导函数为
，且满足
，则
的范围是____________．
令
，则
即
的范围是
4、
集合
中有____________对相邻的自然数，它们相加时将不出现进位的情形．
167
考虑从1000到1999,这些数中,
个位为0、1、2、3、4且
十位为0、1、2、3、4且
百位为0、1、2、3、4时
不发生进位,否则会发生进位.
还有,末位为9、99、999时,也不发生进位.
因此从1000到1999（实际是2000,即最后一对是【1999、2000】）中,共有：
5×5×5 + 5×5 + 5 + 1= 156对
考虑从2000到2017,这些数中,有5+6=11对,所以共有156+11=167对
5、
____________．
6、
从椭圆外一点
作椭圆
的两条切线
和
，若
，则点
轨迹方程为____________．
设点
为
，则
方程为
，与
联立方程组得
，所以
，由题意得
的两根乘积为-1，所以
，当
的斜率不存在时也满足，因此点
轨迹方程为
7、
已知圆
，抛物线
，设直线
与抛物线
相交于
、
两点，与圆
相切于线段
的中点，如果这样的直线
恰有4条，则
的取值范围是____________．
设直线方程
,与抛物线方程联立得
中点
当
时,显然有两条直线满足题意,因此
时,还有两条直线满足题意,即
8、
已知，
，映射
满足
．则这样的映射有____________个．
35
对应同一个数:有5种;
对应不同两个数:有
种；
对应不同三个数：有
种，所以共35种
9、
设函数
，（其中
表示不超过
的最大整数），则函数
的值域为____________．
当
时， 
=
当
时， 
=
所以值域为
10、
已知函数
，若存在非零实数
使得
，则
的最小值为____________．
由题意得
即
因此
11、
求
的值．
解：
12、
设点
，
是正三角形，且点
在曲线
上．
（1）证明：点
关于直线
对称；
（2）求
的周长．
（1）见解析（2）
的周长为
．
试题分析：（1）即证
，由
，可化简得证（2）设
，则
．由
化简得
，其中
，解得
，反代即得
，
的周长为
．
试题解析:（1）证明：设
上一点为
，
则其与点
的距离
满足
．
由
，知
，化简得
，所以
，
，
点
关于直线
对称．
（2）解：设
，则
．则
，而
，
令
，由
是正三角形有
得
，
解得
或
（舍去），
所以
，
的周长为
．
13、
设
是正数数列，
，且
．求证：
．
见解析
试题分析： 放缩证明：先证
，再证
．前面用数学归纳法证明，后面用导数求证，再令
，则有
．由裂项相消法求和可得结论
试题解析:下面用数学归纳法证明：当
，
时，
，
①当
时，
，上述结论成立；
②设
时，
成立，则当
时
所以当
时，结论也成立．
综合①②得，对任意的
，
都有
．
当
时，
；
当
时，
．
下面证明：
，即证明
．
设函数
，则
，
所以
在
上是增函数，所以
恒成立，即
．
令
，则有
．
故
所以
．
综上可得
．
14、
如图，圆
和圆
相交于点
，半径
、半径
所在直线分别与圆
、圆
相交于点
，过点
作
的平行线分别与圆
、圆
相交于点
．证明：
．
见解析
试题分析:根据平角得
三点共线，根据同弦所对角相等得 
四点共圆．根据四点共圆性质得
，即得
，同理可得
，根据等量性质得
．
试题解析:解：延长
、
分别与圆
、圆
相交于点
，连结
．则
，所以
三点共线．
又
，于是
四点共圆．
故
，从而
，因此
，同理
．所以
．