初三数学第一学期1.1.2菱形的判定同步练习
初中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
30 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共3题,共15分)
1、 下列命题不正确的是( ) A. 对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形 B. 两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形 C. 两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 2、 四个点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD=BC;⑤AD∥BC,这五个条件中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有( ) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 3、 平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(﹣3,0)、B(0,2)、C(3,0)、D(0,﹣2),四边形ABCD是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形
二、填空题(共1题,共5分)
4、 如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=120°,E,F分别为AD,CD上的动点,且AE+CF=2,则线段EF长的最小值是_____.
三、解答题(共2题,共10分)
5、 如图,已知ABCD是菱形,△EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP. (1)证明:∠EPF+∠BAD=180°; (2)若∠BAD=120°,证明:AE+AF=AP; (3)若∠BAD=θ,AP=a,求AE+AF. 6、 如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD//BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE. (1)求证:四边形BCDE为菱形; (2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长. |
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初三数学第一学期1.1.2菱形的判定同步练习
1、
下列命题不正确的是( )
A. 对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B. 两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C. 两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D
选项A,B,D正确.选项C,例如下图,满足条件
不是菱形.所以选D.
2、
四个点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD=BC;⑤AD∥BC,这五个条件中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有( )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
D
①②③,①③⑤,②④③,②③⑤,可由菱形的判定定理得到菱形.选D.
3、
平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(﹣3,0)、B(0,2)、C(3,0)、D(0,﹣2),四边形ABCD是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形
B
由勾股定理知,AB=BC=CD=AD,且相邻边不垂直,所以是菱形,选B.
4、
如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=120°,E,F分别为AD,CD上的动点,且AE+CF=2,则线段EF长的最小值是_____.
.
边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=120°,所以∠C=60°,ADB,CBD都是等边三角形, AE+CF=2,CF=ED,
在和中,
BC=BD,DE=CF,∠EDB=∠FCB,
,
BE=BF,
,
∠BCF+∠DBF=∠DBF+∠DBE=60°,
是正三角形,
当BD垂直平分EF时,EF最小,利用勾股定值,所以EF=.
5、
如图,已知ABCD是菱形,△EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.
(1)证明:∠EPF+∠BAD=180°;
(2)若∠BAD=120°,证明:AE+AF=AP;
(3)若∠BAD=θ,AP=a,求AE+AF.
(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)AF+AE=PA•cos .
试题分析:(1)作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N,Rt△PMF≌Rt△PNE,利用公共角求得∠MPF=∠NPE,可得∠EPF和∠BAD互补.
(2)按照(1)可得Rt△PAM≌Rt△PAN,∠BAD=120°,所以可以得∠PAM=60°,易知PA=2AM,
AE+AF=PA.
(3)利用(1)(2)的方法,Rt△PMF≌Rt△PNE,可以得到AF+AE=(AM+FM)+(AN﹣EN)=2AM∠PAM=,易知AM=PA•cos,所以AF+AE=PA•cos.
试题解析:
(1)如图1中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠PAM=∠PAN,
∴PM=PN,
∵PE=PF,
∴Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴∠MPF=∠NPE,
∴∠EPF=∠MPF,
∵∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°,
∴∠EPF+∠BAD=180°.
(2)如图2中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.
由(1)可知Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴FM=NE,
∵PA=PA,PM=PN,
∴Rt△PAM≌Rt△PAN,
∴AM=AN,
∴AF+AE=(AM+FM)+(AN﹣EN)=2AM,
∵∠BAD=120°,
∴∠PAM=60°,易知PA=2AM,
∴AE+AF=PA.
(3)结论:AF+AE=PA•cos.
理由:如图2中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.
由(1)可知Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴FM=NE,
∵PA=PA,PM=PN,
∴Rt△PAM≌Rt△PAN,
∴AM=AN,
∴AF+AE=(AM+FM)+(AN﹣EN)=2AM,
∵∠BAD=θ,
∴∠PAM=,易知AM=PA•cos,
∴AF+AE=PA•cos.
6、
如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD//BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.
(1)证明见解析.(2) .
试题分析:(1)先证明BCDE是平行四边形,再证明一组邻边相等.
(2)连接AC,证明AD=2CD,可知ACD是30°的特殊三角形,勾股定理求AC的长.
试题解析:
(1)∵AD=2BC,E为AD的中点,
∴DE=BC,
∵AD∥BC,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∵∠ABD=90°,AE=DE,
∴BE=DE,
∴四边形BCDE是菱形.
(2)解:连接AC.
∵AD∥BC,AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,
∴AB=BC=1,
∵AD=2BC=2,
∴sin∠ADB=,
∴∠ADB=30°,
∴∠DAC=30°,∠ADC=60°,
在Rt△ACD中,∵AD=2,
∴CD=1,AC=.