山西省大同一中中考模拟试卷数学试卷(解析版)
初中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
75 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共8题,共40分)
1、 如图,小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况,若由图(1)变到图(2),不改变的是( ) A.主视图 B.主视图和左视图 C.主视图和俯视图 D.左视图和俯视图 2、 如图,已知E(﹣4,2),F(﹣1,﹣1),以原点O为位似中心,按比例尺2:1把△EFO缩小,则E点对应点E′的坐标为( ) A.(2,1)B.(,)C.(2,﹣1)D.(2,﹣) 3、 正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是( ) A. B.2 C.3 D.2 4、 某公司欲招聘一名公关人员,对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试,他们的成绩如表:
如果公司认为,作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要,并分别赋予它们6和4的权.根据四人各自的平均成绩,公司将录取( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5、 在解分式方程时,我们第一步通常是去分母,即方程两边同乘以最简公分母(x﹣1),把分式方程变形为整式方程求解.解决这个问题的方法用到的数学思想是( ) A.数形结合B.转化思想C.模型思想D.特殊到一般 6、 “珍惜生命,注意安全”是一永恒的话题.在现代化的城市,交通安全万万不能被忽视。下列四个图形是国际通用的几种交通标志,其中不是中心对称图形是( ) A. B. C. D. 7、 如图,正方形ABCD的对角线BD长为,若直线l满足: ①点D到直线l的距离为; ②A、C两点到直线l的距离相等. 则符合题意的直线l的条数为( ) A.1B.2C.3D.4 8、 在下列四个数中,比0小的数是( ) A.0.2 B.|﹣1| C. D.
二、解答题(共7题,共35分)
9、 问题情境:如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点B恰好落在AD边的中点F处,折痕EG分别交AB、CD于点E、G,FN与DC交于点M,连接BF交EG于点P. 独立思考: (1)AE=___________cm,△FDM的周长为____________cm; (2)猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系,并证明你的结论. 拓展延伸: 如图2,若点F不是AD的中点,且不与点A、D重合: ①△FDM的周长是否发生变化,并证明你的结论. ②判断(2)中的结论是否仍然成立,若不成立请直接写出新的结论(不需证明). 10、 如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D. (1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式; (2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值; (3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少? 11、 已知A=. (1)化简A; (2)当x满足不等式组,且x为奇数时,求A的值. 12、 (1)如图,在△ABC中用直尺和圆规作AB边上的高CD(保留作图痕迹,不写作法). (2)图中的实线表示从A到B需经过C点的公路,且AC=10km,∠CAB=25°,∠CBA=37°.现因城市改造需要在A、B两地之间改建一条笔直的公路.问:公路改造后比原来缩短了多少千米?(参考数据:sin25°≈0.41,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75,结果精确到0.01) 13、 如图,一次函数y1=mx+n的图象分别交x轴、y轴于A、C两点,交反比例函数y2=(k>0)的图象于P、Q两点.过点P作PB⊥x轴于点B,若点P的坐标为(2,2),△PAB的面积为4. (1)求一次函数与反比例函数的解析式. (2)当x为何值时,y1<y2? 14、 (1)计算:(﹣2)2sin60°﹣(﹣)•﹣(﹣)0; (2)已知x,y满足方程组,求2x﹣2y的值. 15、 暑假快要到了,某市准备组织同学们分别到A、B、C、D四个地方进行夏令营活动,前往四个地方的人数如图所示: (1)去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%,根据统计图求去B地的人数. (2)若把同学们去A、B、C、D四个地点的人数情况绘制成扇形统计图,则“去B地”的扇形圆心角为多少? (3)若一对姐弟中只能有一人参加夏令营,姐弟俩提议让父亲决定.父亲说:现有4张卡片上分别写有1,2,3,4四个整数,先让姐姐随机地抽取一张后放回,再由弟弟随机地抽取一张.若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加,若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加.用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平?说明理由. |
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山西省大同一中中考模拟试卷数学试卷(解析版)
1、
如图,小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况,若由图(1)变到图(2),不改变的是( )
A.主视图 B.主视图和左视图
C.主视图和俯视图 D.左视图和俯视图
D
试题分析:根据从上边看得到的图形是俯视图,从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
从上边看得到的图形都是第一层一个小正方形,第二层是三个小正方形,
从左边看第一层是两个小正方形,第二层左边一个小正方形,
故选:D.
2、
如图,已知E(﹣4,2),F(﹣1,﹣1),以原点O为位似中心,按比例尺2:1把△EFO缩小,则E点对应点E′的坐标为( )
A.(2,1)B.(,)C.(2,﹣1)D.(2,﹣)
C
试题分析:根据题意可知,点E的对应点E′的坐标是E(﹣4,2)的坐标同时乘以﹣,
所以点E′的坐标为(2,﹣1).
故选:C.
3、
正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是( )
A. B.2 C.3 D.2
B
试题分析:∵正六边形的边心距为,
∴OB=,AB=OA,
∵OA2=AB2+OB2,
∴OA2=(OA)2+()2,
解得OA=2.
故选:B.
4、
某公司欲招聘一名公关人员,对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试,他们的成绩如表:
候选人 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
测试成绩(百分制) | 面试 | 86 | 92 | 90 | 83 |
笔试 | 90 | 83 | 83 | 92 |
如果公司认为,作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要,并分别赋予它们6和4的权.根据四人各自的平均成绩,公司将录取( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
B
试题分析:甲的平均成绩为:(86×6+90×4)÷10=87.6(分),
乙的平均成绩为:(92×6+83×4)÷10=88.4(分),
丙的平均成绩为:(90×6+83×4)÷10=87.2(分),
丁的平均成绩为:(83×6+92×4)÷10=86.6(分),
因为乙的平均分数最高,
所以乙将被录取.
故选:B.
5、
在解分式方程时,我们第一步通常是去分母,即方程两边同乘以最简公分母(x﹣1),把分式方程变形为整式方程求解.解决这个问题的方法用到的数学思想是( )
A.数形结合B.转化思想C.模型思想D.特殊到一般
B
试题分析:在解分式方程时,我们第一步通常是去分母,即方程两边同乘以最简公分母(x﹣1),把分式方程变形为整式方程求解.解决这个问题的方法用到的数学思想是转化思想,故选B
6、
“珍惜生命,注意安全”是一永恒的话题.在现代化的城市,交通安全万万不能被忽视。下列四个图形是国际通用的几种交通标志,其中不是中心对称图形是( )
A. B. C. D.
B
试题分析:根据中心对称图形的概念:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,
可知A、C、D是中心对称图形,B不是中心对称图形.
故选B.
7、
如图,正方形ABCD的对角线BD长为,若直线l满足:
①点D到直线l的距离为;
②A、C两点到直线l的距离相等.
则符合题意的直线l的条数为( )
A.1B.2C.3D.4
B
试题分析:如图,连接AC与BD相交于O,
∵正方形ABCD的对角线BD长为,
∴OD=,
∴直线l∥AC并且到D的距离为,
同理,在点D的另一侧还有一条直线满足条件,
故共有2条直线l.
故选:B.
8、
在下列四个数中,比0小的数是( )
A.0.2 B.|﹣1| C. D.
C
试题分析:根据绝对值得定义和立方根的定义得出各个数的符号,即可得出结果.
∵0.2>0,|﹣1|=1>0,=﹣2<0,>0,
∴比0小的数是﹣2;
故选:C.
9、
问题情境:如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点B恰好落在AD边的中点F处,折痕EG分别交AB、CD于点E、G,FN与DC交于点M,连接BF交EG于点P.
独立思考:
(1)AE=___________cm,△FDM的周长为____________cm;
(2)猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系,并证明你的结论.
拓展延伸:
如图2,若点F不是AD的中点,且不与点A、D重合:
①△FDM的周长是否发生变化,并证明你的结论.
②判断(2)中的结论是否仍然成立,若不成立请直接写出新的结论(不需证明).
(1)3,16;
(2)BF=EG;
拓展延伸:
①△FDM的周长不发生变化;②(2)中结论成立.
试题分析:(1)根据直角三角形勾股定理即可得出结论,
(2)利用三角形相似对边比例关系计算出三角形各边长即可计算出结果,
①根据题意,利用三角形全等即可证明结论,②根据勾股定理得出AE,然后利用全等三角形得出AF、AK,即可得出结果.
试题解析:(1)设AE=x,则EF=8﹣x,AF=4,∠A=90°,42+x2=(8﹣x)2,x=3,
∴AE=3cm,EF=5cm,EG=BF,
∵∠MFE=90°,
∴∠DFM+∠AFE=90°,
又∵∠A=∠D=90°,∠AFE=∠DMF,
∴△AEF∽△DFM,
∴,
又∵AE=3,AF=DF=4,EF=5,
∴,;
,
∴△FMD的周长=4+=16,
故答案为:3,16;
(2)EG⊥BF,EG=BF,
则∠EGH+∠GEB=90°,
由折叠知,点B、F关于直线GE所在直线对称,
∴∠FBE=∠EGH,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠C=∠ABC=90°,
四边形GHBC是矩形,
∴GH=BC=AB,
∴△AFB≌△HEG,
∴BF=EG;
①△FDM的周长不发生变化,
由折叠知∠EFM=∠ABC=90°,
∴∠DFM+∠AFE=90°,
∵四边形ABCD为正方形,∠A=∠D=90°,
∴∠DFM+∠DMF=90°,
∴∠AFE=∠DMF,
∴△AEF∽△DFM,
∴,
设AF为x,FD=8﹣x,
∴,
解得:,
∴,
∴FMD的周长=,
∴△FMD的周长不变,
②由折叠知∠FBE=∠EGH,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠C=∠ABC=90°,
四边形GHBC是矩形,
∴GH=BC=AB,
∴△AFB≌△HEG,
∴BF=EG,
所以(2)中结论成立.
10、
如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值;
(3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
(1)抛物线的函数表达式为:y=(x+2)(x﹣4);
(2)k=或k=;
(3)当点F坐标为(﹣2,2)时,点M在整个运动过程中用时最少.
试题分析:(1)首先求出点A、B坐标,然后求出直线BD的解析式,求得点D坐标,代入抛物线解析式,求得k的值;
(2)因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角.因此若两个三角形相似,只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.如答图2,按照以上两种情况进行分类讨论,分别计算;
(3)由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF.如答图3,作辅助线,将AF+DF转化为AF+FG;再由垂线段最短,得到垂线段AH与直线BD的交点,即为所求的F点.
试题解析:(1)抛物线y=(x+2)(x﹣4),
令y=0,解得x=﹣2或x=4,
∴A(﹣2,0),B(4,0).
∵直线y=﹣x+b经过点B(4,0),
∴﹣×4+b=0,解得b=,
∴直线BD解析式为:y=﹣x+.
当x=﹣5时,y=3,
∴D(﹣5,3).
∵点D(﹣5,3)在抛物线y=(x+2)(x﹣4)上,
∴(﹣5+2)(﹣5﹣4)=3,
∴k=.
∴抛物线的函数表达式为:y=(x+2)(x﹣4).
(2)由抛物线解析式,令x=0,得y=﹣k,
∴C(0,﹣k),OC=k.
因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角.
因此若两个三角形相似,只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.
①若△ABC∽△APB,则有∠BAC=∠PAB,如答图2﹣1所示.
设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y.
tan∠BAC=tan∠PAB,即:,
∴.
∴P(x,),代入抛物线解析式y=(x+2)(x﹣4),
得(x+2)(x﹣4)=x+k,整理得:x2﹣6x﹣16=0,
解得:x=8或x=﹣2(与点A重合,舍去),
∴P(8,5k).
∵△ABC∽△APB,
∴,即,
解得:k=.
②若△ABC∽△PAB,则有∠ABC=∠PAB,如答图2﹣2所示.
与①同理,可求得:k=.
综上所述,k=或k=.
(3)如答图3,由(1)知:D(﹣5,3),
如答图2﹣2,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3,ON=5,BN=4+5=9,
∴tan∠DBA=,
∴∠DBA=30°.
过点D作DK∥x轴,则∠KDF=∠DBA=30°.
过点F作FG⊥DK于点G,则FG=DF.
由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF,
∴t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.
由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.
过点A作AH⊥DK于点H,则t最小=AH,AH与直线BD的交点,即为所求之F点.
∵A点横坐标为﹣2,直线BD解析式为:y=﹣x+,
∴y=﹣×(﹣2)+=2,
∴F(﹣2,2).
综上所述,当点F坐标为(﹣2,2)时,点M在整个运动过程中用时最少.
11、
已知A=.
(1)化简A;
(2)当x满足不等式组,且x为奇数时,求A的值.
(1);(2)﹣1.
试题分析:(1)先通分,再把分子相加减即可;
(2)求出不等式的解集,再求出x为奇数时A的值即可.
试题解析:(1)A=
=
=
=
=;
(2),
由①得,x≥1,
由②得,x<5,
故不等式的解集为:1≤x<5,
又∵x为奇数,且x≠1,
∴x=3,
∴A==﹣1.
12、
(1)如图,在△ABC中用直尺和圆规作AB边上的高CD(保留作图痕迹,不写作法).
(2)图中的实线表示从A到B需经过C点的公路,且AC=10km,∠CAB=25°,∠CBA=37°.现因城市改造需要在A、B两地之间改建一条笔直的公路.问:公路改造后比原来缩短了多少千米?(参考数据:sin25°≈0.41,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75,结果精确到0.01)
公路改造后比原来缩短了2.27千米.
试题分析:(1)直接利用过直线外一点作直线的垂线作法得出答案;
(2)直接利用锐角三角函数关系分别得出AD,CD,BD的长进而得出答案.
试题解析:(1)如图所示:D点即为所求;
(2)在Rt△ACD中,
CD=ACsin25°≈4.1(km),
AD=ACcos25°≈9.1(km),
在Rt△BCD中
BD=CD÷tan37°≈5.467(km),
AB=AD+DB=14.567km,
BC=CD÷sin37°≈6.833(km),
∴AC+BC﹣AB≈2.27(km),
答:公路改造后比原来缩短了2.27千米.
13、
如图,一次函数y1=mx+n的图象分别交x轴、y轴于A、C两点,交反比例函数y2=(k>0)的图象于P、Q两点.过点P作PB⊥x轴于点B,若点P的坐标为(2,2),△PAB的面积为4.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式.
(2)当x为何值时,y1<y2?
(1)一次函数解析式为y1=x+1,反比例函数解析式为y2=.
(2)当x<﹣4或0<x<2时,y1<y2.
试题分析:(1)由反比例函数图象上点坐标的特点可求出k值的大小,从而得出反比例函数解析式;由三角形的面积公式可得出AB=4,结合点B坐标可得出点A的坐标,由A、P点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式;
(2)令y1=y2,求出x的值,从而得出点Q的横坐标,结合两函数图象的位置关系即可得出结论.
试题解析:(1)∵点P的坐标为(2,2),
∴k=2×2=4,
∴反比例函数解析式为y2=.
∵S△ABC=AB•PB=4,
∴AB=4,
∴点A(﹣2,0).
∵点A、P在一次函数图象上,
∴有,解得.
∴一次函数解析式为y1=x+1.
(2)令y1=x+1=y2=,即x2+2x﹣8=0,
解得:x1=﹣4,x2=2.
即点Q横坐标为﹣4,点P横坐标为2.
结合两函数图象可知:
当x<﹣4和0<x<2时,一次函数图象在反比例函数图象下方,
则当x<﹣4或0<x<2时,y1<y2.
14、
(1)计算:(﹣2)2sin60°﹣(﹣)•﹣(﹣)0;
(2)已知x,y满足方程组,求2x﹣2y的值.
(1)3﹣1;(2)-4
试题分析:(1)原式利用乘方的意义,特殊角的三角函数值,二次根式性质,以及零指数幂法则计算即可得到结果;
(2)方程组两方程相减求出x﹣y的值,代入原式计算即可得到结果.
试题解析:(1)原式=4×+×2﹣1=3﹣1;
(2),
②﹣①得:x﹣y=﹣2,
则2x﹣2y=2(x﹣y)=﹣4.
15、
暑假快要到了,某市准备组织同学们分别到A、B、C、D四个地方进行夏令营活动,前往四个地方的人数如图所示:
(1)去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%,根据统计图求去B地的人数.
(2)若把同学们去A、B、C、D四个地点的人数情况绘制成扇形统计图,则“去B地”的扇形圆心角为多少?
(3)若一对姐弟中只能有一人参加夏令营,姐弟俩提议让父亲决定.父亲说:现有4张卡片上分别写有1,2,3,4四个整数,先让姐姐随机地抽取一张后放回,再由弟弟随机地抽取一张.若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加,若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加.用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平?说明理由.
(1)去B地的人数是40;(2);
(3)不公平
试题分析:(1)假设去B地的人数为x人,根据去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%,进而得出方程求出即可;
(2)根据扇形圆心角的计算解答即可;
(3)根据已知列表得出所有可能,进而利用概率公式求出即可.
试题解析:(1)设去B地x人,则,解得x=40,
答:去B地的人数是40;
(2)“去B地”的扇形圆心角为;
(3)不公平,
列表:
4 | (1,4) | (2,4) | (3,4) | (4,4) |
3 | (1,3) | (2,3) | (3,3) | (4,3) |
2 | (1,2) | (2,2) | (3,2) | (4,2) |
1 | (1,1) | (2,1) | (3,1) | (4,1) |
1 | 2 | 3 | 4 |
∴P(姐姐)= P(弟弟)=
又∵此游戏结果共有16种,且每种发生的可能性相同
∴此游戏不公平.