解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+ +1，

设g（x）=f′（x），g′（x）= ，

令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，

∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，g（x）min=g（1）=2，

∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，

∴f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．

（Ⅱ）设h（x）=（x﹣1）lnx﹣ax+a，

由（Ⅰ）知：h′（x）=lnx+ =1﹣a=g（x）﹣a，

g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）≥g（1）=2，

（i）当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）递增，

∴h（x）≥h（1）=0，满足题意．

（ii）当a＞2时，设ω（x）=h′（x），ω′（x）= ，

当x≥1时，ω′（x）≥0，∴ω（x）在[1，+∞）递增，

ω（1）=2﹣a＜0，ω（ea）=1+e﹣a＞0，

∴∃x0∈（1，ea），使ω（x0）=0，∵ω（x）在[1，+∞）递增，

∴x∈（1，x0），ω（x）＜0，即h′（x）＜0，

∴当x∈（1，x0时，h（x）＜h（1）=0，不满足题意．

综上，a的取值范围为（﹣∞，2]．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，令a=2，（x+1）lnx≥2（x﹣1），

∴x≥1，lnx≥ （当且仅当x=1取“=”），

令x=n（n≥2，n∈N*）得lnn＞ ，

即ln2＞ ，ln3＞ ，ln4＞ ，…，

ln（n﹣2）＞ ，ln（n﹣1）＞ ，lnn＞ ，

将上述n﹣1个式子相乘得：ln2•ln3…lnn＞ = ，

∴原命题得证