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更新时间:2024-03-28 20:30:38

1、

如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. 1

(Ⅰ)证明:PA⊥BD;

(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.

【考点】
【答案】

解:(Ⅰ)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD= 1

从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD

又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD

所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD

(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,

射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz,则

A(1,0,0),B(0, 2 ,0),C(﹣1, 2 ,0),P(0,0,1).

3 =(﹣1, 2 ,0), 4 =(0, 2 ,﹣1), 5 =(﹣1,0,0),

设平面PAB的法向量为 6 =(x,y,z),则 7

8

因此可取 6 =( 2 ,1, 2

设平面PBC的法向量为 9 =(x,y,z),则 10

即: 11

可取 9 =(0,1, 2 ),cos< 12 >= 13 = 14

故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为:﹣ 15

16

【解析】

(Ⅰ)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD= 1 ,利用勾股定理证明BD⊥AD,根据PD⊥底面ABCD,易证BD⊥PD,根据线面垂直的判定定理和性质定理,可证PA⊥BD;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,P的坐标,求出向量 2 ,和平面PAB的法向量,平面PBC的法向量,求出这两个向量的夹角的余弦值即可.

【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面垂直的性质(垂直于同一个平面的两条直线平行).

题型:解答题 题类: 难度:一般 组卷次数:0
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