更新时间:2024-04-20 18:16:37
1、
设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an , n∈N* . 设Sn为数列{bn}的前n项和,已知b1≠0,2bn﹣b1=S1•Sn , n∈N*
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=bn•log3an , 求数列{cn}的前n项和Tn;
(Ⅲ)证明:对任意n∈N*且n≥2,有 + +…+ < .
【考点】
【答案】
解:(Ⅰ)∵an+1=3an,∴{an}是公比为3,首项a1=1的等比数列,
∴通项公式为an=3n﹣1.
∵2bn﹣b1=S1•Sn,∴当n=1时,2b1﹣b1=S1•S1,
∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1.
∴当n>1时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2bn﹣1,∴bn=2bn﹣1,
∴{bn}是公比为2,首项a1=1的等比数列,
∴通项公式为bn=2n﹣1.
(Ⅱ)cn=bn•log3an=2n﹣1log33n﹣1=(n﹣1)2n﹣1,
Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n﹣2)2n﹣2+(n﹣1)2n﹣1…①
2Tn=0•21+1•22+2•23+…+(n﹣2)2n﹣1+(n﹣1)2n…②
①﹣②得:﹣Tn=0•20+21+22+23+…+2n﹣1﹣(n﹣1)2n
=2n﹣2﹣(n﹣1)2n=﹣2﹣(n﹣2)2n
∴Tn=(n﹣2)2n+2.
(Ⅲ) = = = ≤ + + +…+
< + +…+ =
= (1﹣ )<
【解析】
(Ⅰ)判断an}是等比数列,求出通项公式,判断{bn}是等比数列,求出通项公式为bn.(Ⅱ)化简cn的表达式,利用错位相减法求解Tn即可.(Ⅲ)化简 并利用放缩法,通过数列求和证明即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系).
题型:解答题
题类:
难度:一般
组卷次数:0
下载
收藏
+选择
网友关注的试题 更多>>
- 如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形...
- 如图,面,B为AC的中点,,且P到直线BD的距离为...
- 已知锐角中,角的对边分别为,若,,则的面积的取值范...
- 直线恒过定点,则以为圆心,为半径的圆的方程为()A...
- 直线过和的交点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线的...
- 已知等比数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)...
- 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x...
- 利用计算机产生[0,1]之间的均匀随机数a,则事件...
- 某食品店为了了解气温对销售量的影响,随机记录了该店...
- 设有两条直线m,n和三个平面α,β,γ,给出下面四...
- 在中,角的对边分别为,若,则此三角形面积为____...
- 若函数的图象上所有点向左平移个单位,则得到的图象所...
- 若k进制数132(k)与二进制数11110(2)相...
- 过点作圆的一条切线,切点为,若,则的面积满足的概率...
- 命题“存在实数,使”的否定是( ).A.对任意实数...
- 已知等差数列的公差为整数,首项为13,从第五项开始...
- △ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c...
- 若直线与直线的斜率互为相反数,则的倾斜角为( )A...
- 已知函数f(x)=sin(ωx+)﹣cos(ωx﹣...
- (Ⅰ)设不等式对满足的一切实数的取值都成立,求的取...
- 设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n...
- 某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与...
- 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=1...
- 已知函数f(x)=2cos(ωx+π)(ω>0)的...
- 函数的导函数是,若是偶函数,则以下结论正确的是()...
- 已知A,B,C三人中,一个是油漆工,一个是木工,一...
- 已知是等比数列的前项和,若,则__________...
- 在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>...
- 从某高校的高一学生中采用系统抽样法选出30人测量其...
- 等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,S6...
网友关注的试卷 更多>>
- 甘肃省武威市第一中学度第一学期高二数学文...
- 内蒙古赤峰市宁城县高二(上)期末数学试卷...
- 山西省运城市康杰中学数学高考全真模拟试卷...
- 四川省成都市崇庆中学高二(下)开学数学试...
- 陕西省延安市黄陵中学高新部高考考前模拟数...
- 广东省广州市华南师大附中高考文数三模试卷
- 安徽师大附中高二(上)期中数学试卷(理科...
- 湖南省衡阳八中高考数学适应性试卷(理科)...
- 福建省漳州市高考文数二模考试试卷
- 上海市青浦一中高二(上)期中数学试卷
- 河南省高考理数质检考试试卷
- 河北省张家口市宣化四中高二(上)期中数学...
- 河南省周口市扶沟二中高考数学二模试卷(理...
- 江西师大附中高考数学三模试卷(理科)
- 湖北省襄阳市襄州一中、枣阳一中、一中、曾...
- 四川省眉山中学高二(下)期中数学试卷(理...
- 宁夏银川九中高考数学五模试卷(理科)
- 山东省日照市高考数学二模试卷(理科)
- 福建省漳州市高考理数二模考试试卷
- 河北省秦皇岛市卢龙县高二学期数学期末考试...
- 备考高考数学一轮基础复习:专题推理与证明...
- 四川省成都市经开区实验中学高考数学一模试...
- 河南省驻马店市高二(上)期中数学试卷(理...
- 湖南省长沙市雨花区雅礼中学高考数学二模试...
- 内蒙古巴彦淖尔市第一中学高二月月考数学试...
- 吉林省吉林市船营区毓文中学高二(上)期中...
- 江西省抚州市高二(上)期末数学试卷(理科...
- 安徽省马鞍山市高考文数三模考试试卷
- 河南省某重点高中上学期高二期中考试数学(...
- 北京市海淀区高考理数二模考试试卷
最新试题
- 已知函数.(1)若是函数的一个极值点,和1是的两个...
- 设函数,.(1)求函数的极值;(2)若,使得成立,...
- 已知函数,(,为自然对数的底数).(1)试讨论函数...
- 等差数列中的分别是函数的两个不同极值点,则为( )...
- 已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t...
- 设函数在处取得极值为0,则__________.
- 已知函数,(1)求的单调区间;(2)求在上的最大值...
- 函数f(x)=x3-3x2+1在x0处取得极小值,...
- 已知函数,.(Ⅰ)若直线与曲线和分别交于两点.设曲...
- 已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=﹣处...
- 设,若函数有小于零的极值点,则实数的取值范围是()...
- 已知是函数的一个极值点,则实数__________...
- 已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是()A. B...
- 若函数f(x)=x2+alnx在区间(1,+∞)上...
- 已知函数f(x)=lnx,g(x)=0.5x2-b...
- 若函数在区间上不是单调函数,则函数在R上的极大值为...
- 若函数在处取得极值,则_____.
- 设.(1)讨论函数的极值;(2)当时,,求的取值范...
- 设与是函数的两个极值点.(1)试确定常数和的值;(...
- 已知函数,.(1)若在处取得极小值,求实数的值;(...
- 函数的定义域为,导函数在内的图像如下图所示,则函数...
- 设函数.(1)当时,求曲线处的切线方程;(2)当时...
- 已知函数上任一点处的切线斜率,则函数的极值点的个数...
- 若函数有极值,则实数的取值范围是_________...
- 已知在处的极值为0.(1)求常数的值;(2)求的单...
- 设函数,则( )A.为的极大值点 B.为的极小值点...
- 已知e为自然对数的底数,设函数,则( ).A.当k...
- 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-...
- 已知函数的图象与直线相切于点.(1)求的值;(2)...
- 如图,用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的...
最新试卷
- 湖南省高三普通高等学校招生全国统一考试考前演练卷(...
- 河南省洛阳市高二下学期期末考试数学(文)试卷
- 安徽省巢湖市柘皋中学高三最后一次模拟考试数学(文)...
- 四川省成都市龙泉一中、新都一中等九校高二月联考数学...
- 江苏省南京市金陵中学高二下学期周末作业数学试卷
- 河北省保定市高三二模文科数学试卷
- 安徽省池州市江南中学高二下学期期末考试数学(理)试...
- 湖北省宜昌市七校教学协作体高二下学期期末考试数学(...
- 北京市朝阳区高三二模数学(文科)试卷
- 河北省鸡泽县第一中学高二下学期期末考试数学(文)试...
- 湖北省孝感市七校教学联盟高二下学期期末考试数学(文...
- 广东省中山市高二下学期期末统一考试数学(文)试卷
- 福建省泉港一中高二下学期期末考理科数学试卷
- 福建省福州市八县(市)一中(福清一中长乐一中等)高...
- 河南省中原名校高二下期期末检测数学(理)试卷
- 福建省高三毕业班总复习(导数)单元过关平行性测试卷...
- 辽宁省瓦房店市高级中学高二下学期期末考试数学(理)...
- 湖南省邵东三中高二下学期期中考试理数试卷
- 山东省临沂市重点中学高二下学期期中考试数学(理)试...
- 陕西省宝鸡市金台区高二下学期期中考试数学理试卷
- 天津市六校高二下学期期中联考数学理试卷
- 河南省商丘名校高二下期月联考数学(理)试卷
- 宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期中考试数学(文)试...
- 安徽省黄山市屯溪第一中学高二下学期期中考试数学(理...
- 河北省承德一中高二下学期第一次月考数学理试卷
- 福建省师范大学附属中学高二下学期期中考试数学理试卷
- 江苏省兴化一中高三下学期期中考试数学试卷
- 福建省泉港一中高二年下学期期中考文科数学试卷
- 河南省南阳市六校高二下学期第二次联考数学试卷
- 福建省高三毕业班总复习(导数)单元过关形成性测试卷...