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更新时间:2024-03-29 16:02:26

1、

在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣ 1 )= 2 ,C与l有且仅有一个公共点.

(Ⅰ)求a;

(Ⅱ)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB= 1 ,求|OA|+|OB|的最大值.

【考点】
【答案】

解:(Ⅰ)曲线C:ρ=2acosθ(a>0),变形ρ2=2ρacosθ,化为x2+y2=2ax,即(x﹣a)2+y2=a2.

∴曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆;

由l:ρcos(θ﹣ 1 )= 2 ,展开为 3

∴l的直角坐标方程为x+ 4 y﹣3=0.

由直线l与圆C相切可得 5 =a,解得a=1.

(Ⅱ)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+ 1

则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+ 1

=3cosθ﹣ 4 sinθ=2 4 cos(θ+ 6 ),

当θ=﹣ 6 时,|OA|+|OB|取得最大值2 4

【解析】

(I)把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的性质即可得出a;(II)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+ 1 ,则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+ 1 )=2 2 cos(θ+ 3 ),利用三角函数的单调性即可得出.

题型:解答题 题类: 难度:一般 组卷次数:0
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