爸爸每4天中有一个休息日，妈妈每3天中就有一个休息日．6月1日，他们同时休息，从第一个同时休息到下一次他们同时休息经过的时间，既是4的倍数也是3的倍数，然后用4和3的最小公倍数加上前面的1日即的到休息的日子，问题得解。

4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28…，

3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，24，27…，

4和3的公倍数有12，24…，

4和3的最小公倍数是12，

所以6月1日，他们同时休息，那么下一次他们同时休息是1+12=13，即6月13日；故答案为：13．