1、
双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.
(1)若l的倾斜角为 , 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设 ,若l的斜率存在,且|AB|=4,求l的斜率.
2、
如图,曲线C1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆的一部分.曲线C2是以O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角,若|AF1|=,|AF2|=.
(1)求曲线C1和C2的方程;
(2)设点C是C2上一点,若|CF1|=|CF2|,求△CF1F2的面积.
3、
已知函数f(x)=ax+ln(x-1),其中a为常数.
(1)试讨论f(x)的单调区间;
(2)当a=时,存在x使得不等式成立,求b的取值范围.
4、
已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左,右焦点分别为F1,F2,上顶点和右顶点分别为B,A,线段AB的中点为D,且,△AOB的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,若△MF2N的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.
5、
已知函数且在处的切线与直线垂直.
(1)求实数值;
(2)若不等式对任意的实数及恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,且数列的前项和为,求证:.
6、
已知函数,.
(1)当为何值时,轴为曲线的切线;
(2)用表示中的最小值,设函数,讨论零点的个数.
7、
O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( ).
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
8、
已知为常数,对任意,均有恒成立.下列说法:
①的周期为;
②若为常数)的图像关于直线对称,则;
③若且,则必有;
④已知定义在上的函数对任意均有成立,且当时,;又函数为常数),若存在使得成立,则的取值范围是.其中说法正确的是____.(填写所有正确结论的编号)
9、
设等差数列的公差为,等差数列的公差为,记
,其中表示这个数中最大的数
(1)若,求的值,并猜想数列的通项公式(不必证明)
(2)设,若不等式对不小于2的一切自然数n都成立,求的取值范围
(3)试探究当无穷数列为等差数列时,、应满足的条件并证明你的结论
10、
已知函数,其中,.
(Ⅰ)当时,的零点为______;(将结果直接填写在横线上)
(Ⅱ)当时,如果存在,使得,试求的取值范围;
(Ⅲ)如果对于任意,都有成立,试求的最大值.