1、
在数1和2之间插入个正数,使得这个数构成递增等比数列,将这个数的乘积记为,令,,______.
2、
已知椭圆:的右焦点为,过点的两条互相垂直的直线,,与椭圆相交于点,,与椭圆相交于点,,则下列叙述不正确的是( )
A. 存在直线,使得值为7
B. 存在直线,使得值为
C. 弦长存在最大值,且最大值为4
D. 弦长不存在最小值
3、
(本小题满分13分)已知动圆过定点且与轴截得的弦的长为.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知点,动直线和坐标轴不垂直,且与轨迹相交于两点,试问:在轴上是否存在一定点,使直线过点,且使得直线,,的斜率依次成等差数列?若存在,请求出定点的坐标;否则,请说明理由.
4、
已知,为实数,函数,函数.
(1) 当时,令,若恒成立,求实数的取值范围;
(2) 当时,令,是否存在实数,使得对于函数定义域中的任意实数,均存在实数,有成立?若存在,求出实数的取值集合;若不存在,请说明理由.
5、
已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,,是椭圆的长轴的两个端点(位于右侧),是椭圆在轴正半轴上的顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和,使得向量与共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.
6、
已知为坐标原点,抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为,曲线在点处的切线交轴于点,直线经过点且垂直于轴.
(Ⅰ)求线段的长;
(Ⅱ)设不经过点和的动直线交曲线于点和,交于点,若直线的斜率依次成等差数列,试问:是否过定点?请说明理由.
7、
在三棱柱中,侧面为矩形,,,是的中点,与交于点,且平面.
(1)证明:;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
8、
如图所示,在中,与是夹角为的两条直径,分别是与直径上的动点,若,则的取值范围是________.
9、
已知为的外心,其外接圆半径为1,且.若,则的最大值为__________.
10、
已知函数 .
(I)若曲线 存在斜率为-1的切线,求实数a的取值范围;
(II)求 的单调区间;
(III)设函数 ,求证:当 时, 在 上存在极小值.