1、
已知椭圆E: + =1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
2、
已知函数f(x)=(x+1)lnx,g(x)=a(x﹣1)(a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)求证:ln2•ln3…lnn> (n≥2,n∈N+).
3、
已知函数f(x)=ex+2ax.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为0,求a的值;
(3)若对于任意x≥0,f(x)≥e﹣x恒成立,求a的取值范围.
4、
在平面直角坐标系xOy中,椭圆 的离心率为 ,直线y=x被椭圆C截得的线段长为 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.设直线BD,AM斜率分别为k1 , k2 , 证明存在常数λ使得k1=λk2 , 并求出λ的值.
5、
已知椭圆E: + =1(a>b>0)过点 ,且离心率e为 .
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线x=my﹣1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
6、
在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为 (其中t为参数).现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ.
(Ⅰ) 写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ) 过点M(﹣1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A,B两点,求|AB|.
7、
平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 的左焦点为F,离心率为 ,过点F且垂直于长轴的弦长为 .
(I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设点A,B分别是椭圆的左、右顶点,若过点P(﹣2,0)的直线与椭圆相交于不同两点M,N.
(i)求证:∠AFM=∠BFN;
(ii)求△MNF面积的最大值.
8、
已知函数f(x)=ex+ax2﹣ex,a∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
9、
已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.
(Ⅰ)求证:BD⊥A1C;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值;
(Ⅲ)在线段CC1上是否存在点P,使得平面A1CD1⊥平面PBD,若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
10、
设椭圆C: + =1(a>b>0),定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2;若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合,且椭圆C的离心率为 .
(1)求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程;
(2)过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,延长PA与“伴随圆”E交于点Q,O为坐标原点.
①证明:PA⊥PB;
②若直线OP,OQ的斜率存在,设其分别为k1 , k2 , 试判断k1k2是否为定值,若是,求出该值;若不是,请说明理由.