1、
已知函数f(x)=ex+ax2﹣ex,a∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
解:(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=ex+2ax﹣e
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,
∴k=2a=0,∴a=0
∴f(x)=ex﹣ex,f′(x)=ex﹣e
令f′(x)=ex﹣e<0,可得x<1;令f′(x)>0,可得x>1;
∴函数f(x)的单调减区间为(﹣∞,1),单调增区间为(1,+∞)
(Ⅱ)设点P(x0,f(x0)),曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x﹣x0)+f(x0)
令g(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0)﹣f(x0)
∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P,∴g(x)有唯一零点
∵g(x0)=0,g′(x)=
(i)若a≥0,当x>x0时,g′(x)>0,∴x>x0时,g(x)>g(x0)=0
当x<x0时,g′(x)<0,∴x<x0时,g(x)>g(x0)=0,故g(x)只有唯一零点x=x0,由P的任意性a≥0不合题意;
(ii)若a<0,令h(x)= ,则h(x0)=0,h′(x)=ex+2a
令h′(x)=0,则x=ln(﹣2a),∴x∈(﹣∞,ln(﹣2a)),h′(x)<0,函数单调递减;x∈(ln(﹣2a),+∞),h′(x)>0,函数单调递增;
①若x0=ln(﹣2a),由x∈(﹣∞,ln(﹣2a)),g′(x)>0;x∈(ln(﹣2a),+∞),g′(x)>0,∴g(x)在R上单调递增
∴g(x)只有唯一零点x=x0;
②若x0>ln(﹣2a),由x∈(ln(﹣2a),+∞),h(x)单调递增,且h(x0)=0,则当x∈(ln(﹣2a),x0),g′(x)<0,g(x)>g(x0)=0
任取x1∈(ln(﹣2a),x0),g(x1)>0,
∵x∈(﹣∞,x1),∴g(x)<ax2+bx+c,其中b=﹣e﹣f′(x0).c=
∵a<0,∴必存在x2<x1,使得
∴g(x2)<0,故g(x)在(x2,x1)内存在零点,即g(x)在R上至少有两个零点;
③若x0<ln(﹣2a),同理利用 ,可得g(x)在R上至少有两个零点;
综上所述,a<0,曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P(ln(﹣2a),f(ln(﹣2a)))
(Ⅰ)求导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,可求a的值,令f′(x)=ex﹣e<0,可得函数f(x)的单调减区间;令f′(x)>0,可得单调增区间;(Ⅱ)设点P(x0,f(x0)),曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x﹣x0)+f(x0),令g(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0)﹣f(x0),曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P等价于g(x)有唯一零点,求出导函数,再进行分类讨论:(1)若a≥0,g(x)只有唯一零点x=x0,由P的任意性a≥0不合题意(2)若a<0,令h(x)= ,则h(x0)=0,h′(x)=ex+2a,可得函数的单调性,进而可研究g(x)的零点,由此可得结论.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案.
- 已知0,则的最小值为( )A.4 B.6C.8D....
- 已知,若向量共面,则_________.
- 在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(其中t为参...
- 过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C...
- 已知实数满足,则的最小值是A.7 B.-3 C. ...
- 命题“存在实数,使”的否定是( ).A.对任意实数...
- 如图,到的距离分别是和,与所成的角分别是和,在内的...
- 已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an﹣n...
- 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是直角...
- 直线与直线间的距离是()A. B. C. D.
- 已知向量=(1,﹣2),=(﹣2,y),且,则|3...
- 物体运动时位移与时间的函数关系是,此物体在某一时刻...
- 过曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的左焦点F1作...
- 已知函数f(x)=lnx,g(x)=﹣(x为实常数...
- 已知正项等差数列的前项和为,若,且成等比数列.(Ⅰ...
- 利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印...
- 如图的几何体中,平面,平面,为等边三角形,,为的中...
- 在平行四边形ABCD中,,,若将其沿AC折成直二面...
- 如图半圆的半径为1,为直径延长线上一点,且,为半圆...
- 已知函数f(x)=,若存在实数x1,x2,x3,x...
- 设曲线在点(0,1)处的切线与曲线上点处的切线垂直...
- 如图,抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F,取线...
- 如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC...
- 已知实数,满足条件则的最大值为()A. B. C....
- 过点的直线与中心在原点,焦点在轴上且离心率为的椭圆...
- 已知成等比数列,且曲线的顶点是,则等于()A.5 ...
- 若,且,则( )A.B.C.D.
- 已知函数f(x)=2cos(ωx+π)(ω>0)的...
- 已知命题“若直线与平面垂直,则直线与平面内的任意一...
- 已知函数.(Ⅰ)当时,解关于的不等式;(Ⅱ)当时,...
- 广东省揭阳市惠来一中高二(下)期中数学试...
- 安徽省马鞍山二中高二(下)期中数学试卷(...
- 湖北省襄阳市襄州一中、枣阳一中、一中、曾...
- 河北省衡水市武邑中学高考文数三模考试试卷
- 山东省春季数学高考试卷
- 黑龙江省鹤岗一中高二(上)期中数学试卷(...
- 广东省惠州市惠城区惠阳高中高二(上)期中...
- 四川省成都市数学高考摸底试卷(文科)
- 安徽省蚌埠市高考理数三模考试试卷
- 江西省上饶市铅山一中高二(下)期中数学试...
- 山西省晋中市高二(上)期末数学试卷(理科...
- 陕西省西安市长安区第一中学上学期高二期中...
- 山西省太原市高二(下)期中数学试卷(文科...
- 甘肃省张掖市肃南一中高二(上)期末数学试...
- 河北省衡水市故城高中高二(下)期中数学试...
- 浙江省温州市八校联考高二(下)期中数学试...
- 河南省平顶山市高二(上)期末数学试卷(理...
- 福建省泉州市泉港一中高二(上)期末数学试...
- 四川省绵阳市三台县高二(下)期中数学试卷...
- 河北省廊坊市高二(上)期末数学试卷(理科...
- 四川省成都市九校联考高二(下)期中数学试...
- 河北省张家口市高二(上)期末考试试卷(理...
- 内蒙古巴彦淖尔市第一中学高二月月考数学试...
- 广东省汕头市潮阳实验学校高二(上)期中数...
- 河北省邯郸市武安三中高考理数保温试卷
- 安徽省合肥八中高二(下)期中数学试卷(理...
- 甘肃省河西五市部分普通高中高考理数二模考...
- 山西省晋中市榆社中学高二期中考试数学(理...
- 河南省郑州一中高二(上)期中数学试卷(理...
- 辽宁省大连二十中高二(上)期中数学试卷(...
- 已知函数.(1)若是函数的一个极值点,和1是的两个...
- 设函数,.(1)求函数的极值;(2)若,使得成立,...
- 已知函数,(,为自然对数的底数).(1)试讨论函数...
- 等差数列中的分别是函数的两个不同极值点,则为( )...
- 已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t...
- 设函数在处取得极值为0,则__________.
- 已知函数,(1)求的单调区间;(2)求在上的最大值...
- 函数f(x)=x3-3x2+1在x0处取得极小值,...
- 已知函数,.(Ⅰ)若直线与曲线和分别交于两点.设曲...
- 已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=﹣处...
- 设,若函数有小于零的极值点,则实数的取值范围是()...
- 已知是函数的一个极值点,则实数__________...
- 已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是()A. B...
- 若函数f(x)=x2+alnx在区间(1,+∞)上...
- 已知函数f(x)=lnx,g(x)=0.5x2-b...
- 若函数在区间上不是单调函数,则函数在R上的极大值为...
- 若函数在处取得极值,则_____.
- 设.(1)讨论函数的极值;(2)当时,,求的取值范...
- 设与是函数的两个极值点.(1)试确定常数和的值;(...
- 已知函数,.(1)若在处取得极小值,求实数的值;(...
- 函数的定义域为,导函数在内的图像如下图所示,则函数...
- 设函数.(1)当时,求曲线处的切线方程;(2)当时...
- 已知函数上任一点处的切线斜率,则函数的极值点的个数...
- 若函数有极值,则实数的取值范围是_________...
- 已知在处的极值为0.(1)求常数的值;(2)求的单...
- 设函数,则( )A.为的极大值点 B.为的极小值点...
- 已知e为自然对数的底数,设函数,则( ).A.当k...
- 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-...
- 已知函数的图象与直线相切于点.(1)求的值;(2)...
- 如图,用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的...
- 湖南省高三普通高等学校招生全国统一考试考前演练卷(...
- 河南省洛阳市高二下学期期末考试数学(文)试卷
- 安徽省巢湖市柘皋中学高三最后一次模拟考试数学(文)...
- 四川省成都市龙泉一中、新都一中等九校高二月联考数学...
- 江苏省南京市金陵中学高二下学期周末作业数学试卷
- 河北省保定市高三二模文科数学试卷
- 安徽省池州市江南中学高二下学期期末考试数学(理)试...
- 湖北省宜昌市七校教学协作体高二下学期期末考试数学(...
- 北京市朝阳区高三二模数学(文科)试卷
- 河北省鸡泽县第一中学高二下学期期末考试数学(文)试...
- 湖北省孝感市七校教学联盟高二下学期期末考试数学(文...
- 广东省中山市高二下学期期末统一考试数学(文)试卷
- 福建省泉港一中高二下学期期末考理科数学试卷
- 福建省福州市八县(市)一中(福清一中长乐一中等)高...
- 河南省中原名校高二下期期末检测数学(理)试卷
- 福建省高三毕业班总复习(导数)单元过关平行性测试卷...
- 辽宁省瓦房店市高级中学高二下学期期末考试数学(理)...
- 湖南省邵东三中高二下学期期中考试理数试卷
- 山东省临沂市重点中学高二下学期期中考试数学(理)试...
- 陕西省宝鸡市金台区高二下学期期中考试数学理试卷
- 天津市六校高二下学期期中联考数学理试卷
- 河南省商丘名校高二下期月联考数学(理)试卷
- 宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期中考试数学(文)试...
- 安徽省黄山市屯溪第一中学高二下学期期中考试数学(理...
- 河北省承德一中高二下学期第一次月考数学理试卷
- 福建省师范大学附属中学高二下学期期中考试数学理试卷
- 江苏省兴化一中高三下学期期中考试数学试卷
- 福建省泉港一中高二年下学期期中考文科数学试卷
- 河南省南阳市六校高二下学期第二次联考数学试卷
- 福建省高三毕业班总复习(导数)单元过关形成性测试卷...