1、
如图,在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,顶角D1在底面ABCD内的射影恰好为点C.
(1)求证:AD1⊥BC;
(2)若直线DD1与直线AB所成角为 ,求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值函数值.
(1)证明:连接D1C,则D1C⊥平面ABCD,
∴D1C⊥BC
在等腰梯形ABCD中,连接AC
∵AB=2,BC=CD=1,AB∥CD
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面AD1C
∴AD1⊥BC
(2)解法一:
∵AB∥CD∴
∵CD=1∴
在底面ABCD中作CM⊥AB,连接D1M,则D1M⊥AB,所以∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角
在Rt△D1CM中, ,
∴ ∴
即平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦函数值为
解法二:
由(Ⅰ)知AC、BC、D1C两俩垂直,
∵AB∥CD∴ ∴
在等腰梯形ABCD中,连接AC因AB=2,BC=CD=1AB∥CD,
所以 ,建立如图空间直角坐标系,
则 ,B(0,1,0),
设平面ABC1D1的一个法向量
由 得
可得平面ABC1D1的一个法向量 .
又 为平面ABCD的一个法向量.
因此
所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为 .
(Ⅰ)证明:连接D1C,证明BC⊥平面AD1C,利用直线与平面垂直的性质定理证明AD1⊥BC.(Ⅱ)解法一:连接D1M,则D1M⊥AB,说明∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角,在Rt△D1CM中,求出 ,得到平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦函数值为 .
解法二:
由(Ⅰ)知AC、BC、D1C两俩垂直,建立如图空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出平面ABC1D1的一个法向量,平面ABCD的法向量.通过向量的数量积求解平面ABC1D1和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的性质,掌握垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题.
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